Номер 5, страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

5. Какой из графиков, изображенных на рисунке, не дает геометрической интерпретации первообразной?

A)

B)

C)

D)

Геометрический смысл первообразной заключается в том, что если функция $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$, то множество всех первообразных для $f(x)$ задается формулой $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Графически это означает, что все графики первообразных для одной и той же функции образуют семейство кривых, которые могут быть получены друг из друга путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат $Oy$.

Важным свойством такого семейства кривых является то, что касательные, проведенные к кривым семейства в точках с одинаковой абсциссой $x_0$, параллельны между собой. Это следует из того, что угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $F'(x_0) = f(x_0)$, которое одинаково для всех функций вида $F(x) + C$.

Проанализируем предложенные графики:

A) На рисунке изображено семейство параллельных прямых с положительным угловым коэффициентом. Уравнение этих прямых можно записать как $y = kx + C$, где $k = \text{const} > 0$. Каждая такая прямая является графиком функции. Данное семейство является семейством всех первообразных для постоянной функции $f(x) = (kx + C)' = k$. Графики получаются друг из друга сдвигом вдоль оси $Oy$. Следовательно, это может быть геометрической интерпретацией первообразной.

B) На рисунке изображено семейство вертикальных прямых. Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — константа. Такая линия не является графиком функции $y=F(x)$, так как для одного значения $x$ существует бесконечно много значений $y$ (нарушается тест вертикальной линии). Поскольку первообразная по определению является функцией, данный график не может представлять семейство первообразных. Кроме того, эти линии получаются друг из друга сдвигом вдоль оси абсцисс $Ox$, а не оси ординат $Oy$.

C) На рисунке изображено семейство параллельных прямых с отрицательным угловым коэффициентом. По аналогии с пунктом А), это семейство функций $y = kx + C$, где $k = \text{const} < 0$. Это семейство первообразных для постоянной функции $f(x) = k$. Это является корректной геометрической интерпретацией первообразной.

D) На рисунке изображено семейство кривых, которые получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси $Oy$. Для любого значения $x$ касательные к этим кривым в точках с этой абсциссой параллельны. Например, это может быть семейство первообразных для некоторой периодической функции, скажем, $F(x) = \sin(x) + C$ как первообразные для $f(x) = \cos(x)$. Этот график соответствует геометрической интерпретации первообразной.

Таким образом, график, который не дает геометрическую интерпретацию первообразной, это график под буквой B.

Ответ: B