Страница 36 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3. Найдите первообразную функции $y = 3x^2 - 1$, проходящую через точку $A(0; 0)$:

A) $x^3 - x + 1$;

B) $x^3 - x$;

C) $x^3 - x - 1$;

D) $x^3 + x + 1$.

Чтобы найти первообразную функции $y = 3x^2 - 1$, которая проходит через заданную точку, необходимо выполнить два основных шага: сначала найти общий вид всех первообразных для данной функции, а затем, используя условие прохождения через точку $A(0; 0)$, найти конкретное значение константы интегрирования.

1. Нахождение общего вида первообразной.

Общий вид первообразной $F(x)$ для функции $f(x)$ находится путем вычисления неопределенного интеграла от этой функции.

$F(x) = \int f(x) dx = \int (3x^2 - 1) dx$

Используя свойство линейности интеграла, можем разбить его на два интеграла:

$F(x) = \int 3x^2 dx - \int 1 dx$

Теперь вычислим каждый интеграл по отдельности, используя табличные значения. Для степенной функции формула первообразной имеет вид $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$.

$F(x) = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} - 1 \cdot x + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} - x + C$

После упрощения получаем общий вид первообразной:

$F(x) = x^3 - x + C$

где $C$ – произвольная постоянная (константа интегрирования).

2. Определение константы $C$.

По условию задачи, график искомой первообразной проходит через точку $A$ с координатами $(0; 0)$. Это означает, что при подстановке $x=0$ в уравнение первообразной, значение функции $F(x)$ должно быть равно $0$.

Подставим значения $x=0$ и $F(0)=0$ в полученное уравнение:

$0 = (0)^3 - 0 + C$

$0 = 0 - 0 + C$

Отсюда находим, что $C = 0$.

3. Запись итоговой первообразной.

Подставив найденное значение $C=0$ в общий вид первообразной, получаем конкретную первообразную, удовлетворяющую условию задачи:

$F(x) = x^3 - x + 0 = x^3 - x$

Среди предложенных вариантов ответа этот результат соответствует варианту B).

Ответ: B) $x^3 - x$

4. На каком промежутке функция $F(x) = \frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$ является перво-образной для функции $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$:

A) $(-\infty; +\infty);$

B) $(0; +\infty);$

C) $(-\infty; 1);$

D) $(-1; +\infty)?$

По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех $x$ из этого промежутка выполняется равенство $F'(x) = f(x)$.

Сначала найдем производную функции $F(x) = \frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$.

Чтобы упростить дифференцирование, представим функцию в виде суммы степенных функций: $F(x) = \frac{2}{9}x^3 + \frac{3}{2}x^{-1}$.

Теперь вычислим производную, используя правило дифференцирования суммы и степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$:

$F'(x) = (\frac{2}{9}x^3 + \frac{3}{2}x^{-1})' = (\frac{2}{9}x^3)' + (\frac{3}{2}x^{-1})' = \frac{2}{9} \cdot 3x^{3-1} + \frac{3}{2} \cdot (-1)x^{-1-1} = \frac{6}{9}x^2 - \frac{3}{2}x^{-2} = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$.

Сравним полученное выражение с данной функцией $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$. Мы видим, что $F'(x) = f(x)$.

Далее, необходимо определить промежуток, на котором это равенство выполняется. Определение первообразной предполагает, что она задана на непрерывном промежутке (интервале).

Функция $F(x) = \frac{2x^3}{9} + \frac{3}{2x}$ и функция $f(x) = \frac{2}{3}x^2 - \frac{3}{2x^2}$ не определены в точке $x=0$, так как в этой точке знаменатели дробей $\frac{3}{2x}$ и $\frac{3}{2x^2}$ обращаются в ноль.

Следовательно, равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется на всей области определения функций, то есть при $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

Теперь проанализируем предложенные варианты промежутков, чтобы выбрать тот, который является непрерывным и не содержит точку $x=0$.

A) $(-\infty; +\infty)$. Этот промежуток содержит точку $x=0$, в которой функции не определены, поэтому он не подходит.

B) $(0; +\infty)$. Этот промежуток является непрерывным и не содержит точку $x=0$. На всем этом промежутке равенство $F'(x) = f(x)$ выполняется. Следовательно, этот вариант является правильным.

C) $(-\infty; 1)$. Этот промежуток содержит точку $x=0$, поэтому он не подходит.

D) $(-1; +\infty)$. Этот промежуток также содержит точку $x=0$, поэтому он не подходит.

Таким образом, единственным верным промежутком из предложенных является $(0; +\infty)$.

Ответ: B) $(0; +\infty)$

5. Какой из графиков, изображенных на рисунке, не дает геометрической интерпретации первообразной?

A)

B)

C)

D)

Геометрический смысл первообразной заключается в том, что если функция $F(x)$ является одной из первообразных для функции $f(x)$, то множество всех первообразных для $f(x)$ задается формулой $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная. Графически это означает, что все графики первообразных для одной и той же функции образуют семейство кривых, которые могут быть получены друг из друга путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат $Oy$.

Важным свойством такого семейства кривых является то, что касательные, проведенные к кривым семейства в точках с одинаковой абсциссой $x_0$, параллельны между собой. Это следует из того, что угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной $F'(x_0) = f(x_0)$, которое одинаково для всех функций вида $F(x) + C$.

Проанализируем предложенные графики:

A) На рисунке изображено семейство параллельных прямых с положительным угловым коэффициентом. Уравнение этих прямых можно записать как $y = kx + C$, где $k = \text{const} > 0$. Каждая такая прямая является графиком функции. Данное семейство является семейством всех первообразных для постоянной функции $f(x) = (kx + C)' = k$. Графики получаются друг из друга сдвигом вдоль оси $Oy$. Следовательно, это может быть геометрической интерпретацией первообразной.

B) На рисунке изображено семейство вертикальных прямых. Уравнение вертикальной прямой имеет вид $x = c$, где $c$ — константа. Такая линия не является графиком функции $y=F(x)$, так как для одного значения $x$ существует бесконечно много значений $y$ (нарушается тест вертикальной линии). Поскольку первообразная по определению является функцией, данный график не может представлять семейство первообразных. Кроме того, эти линии получаются друг из друга сдвигом вдоль оси абсцисс $Ox$, а не оси ординат $Oy$.

C) На рисунке изображено семейство параллельных прямых с отрицательным угловым коэффициентом. По аналогии с пунктом А), это семейство функций $y = kx + C$, где $k = \text{const} < 0$. Это семейство первообразных для постоянной функции $f(x) = k$. Это является корректной геометрической интерпретацией первообразной.

D) На рисунке изображено семейство кривых, которые получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси $Oy$. Для любого значения $x$ касательные к этим кривым в точках с этой абсциссой параллельны. Например, это может быть семейство первообразных для некоторой периодической функции, скажем, $F(x) = \sin(x) + C$ как первообразные для $f(x) = \cos(x)$. Этот график соответствует геометрической интерпретации первообразной.

Таким образом, график, который не дает геометрическую интерпретацию первообразной, это график под буквой B.

Ответ: B

6. Какая из фигур, заштрихованных на рисунке, не является криволинейной трапецией?

A)

B)

C)

D)

Для ответа на вопрос необходимо использовать определение криволинейной трапеции. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс (осью $Ox$) и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$.

Проанализируем каждую из заштрихованных фигур на соответствие этому определению.

A) Фигура ограничена снизу осью $Ox$, слева и справа — вертикальными прямыми, а сверху — графиком функции. Функция на данном отрезке является непрерывной и неотрицательной. Следовательно, эта фигура — криволинейная трапеция.

B) Фигура ограничена снизу осью $Ox$, слева и справа — вертикальными прямыми, а сверху — графиком функции (парабола). Функция является непрерывной и неотрицательной на заданном отрезке. Следовательно, эта фигура — криволинейная трапеция.

C) Фигура ограничена снизу осью $Ox$, слева — вертикальной прямой $x=a$, а справа — прямой $x=0$ (осью $Oy$). Сверху фигура ограничена графиком функции $y=f(x)$. Из вида графика следует, что при $x \to 0$ слева, $y \to +\infty$. Это означает, что функция имеет вертикальную асимптоту в точке $x=0$ и терпит разрыв. Таким образом, не выполняется одно из ключевых условий определения криволинейной трапеции — непрерывность функции на всем отрезке $[a, 0]$. Поэтому данная фигура не является криволинейной трапецией.

D) Фигура ограничена снизу осью $Ox$, а сверху — графиком функции (парабола). Боковыми границами служат точки пересечения графика с осью $Ox$, которые можно принять за вертикальные прямые $x=a$ и $x=b$. Функция непрерывна и неотрицательна на отрезке $[a, b]$. Следовательно, эта фигура — криволинейная трапеция.

Таким образом, единственная фигура, которая не является криволинейной трапецией, — это фигура, изображенная под буквой C.

Ответ: C.