Страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.16. 1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^2 \frac{x}{2} dx;$

3) $\int_{0}^{\pi} 3\cos^2 2x dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2 4x dx.$

1)

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2\alpha = x$.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\frac{x}{2}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(x)}{2}dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(x))dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции. Первообразная для $1$ равна $x$, а для $\cos(x)$ равна $\sin(x)$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x + \sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} ((\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) - (0 + \sin(0)))$

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{1}{2} ((\frac{\pi}{2} + 1) - (0 + 0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

2)

Для вычисления этого интеграла используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь, как и в предыдущем примере, $\alpha = \frac{x}{2}$, значит $2\alpha = x$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^2\frac{x}{2}dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{1 - \cos(x)}{2}dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \cos(x))dx$

Первообразная для $1 - \cos(x)$ равна $x - \sin(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x - \sin(x)]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \frac{1}{2} ((0 - \sin(0)) - (-\frac{\pi}{2} - \sin(-\frac{\pi}{2})))$

Так как $\sin(0) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:

$\frac{1}{2} ((0 - 0) - (-\frac{\pi}{2} - (-1))) = \frac{1}{2} (0 - (-\frac{\pi}{2} + 1)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3)

Сначала вынесем константу 3 за знак интеграла, затем применим формулу понижения степени $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В этом случае $\alpha = 2x$, следовательно, $2\alpha = 4x$.

$3 \int_0^{\pi} \cos^2(2x)dx = 3 \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(4x)}{2}dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$:

$\frac{3}{2} \int_0^{\pi} (1 + \cos(4x))dx$

Найдем первообразную для $1 + \cos(4x)$. Она равна $x + \frac{\sin(4x)}{4}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{3}{2} [x + \frac{\sin(4x)}{4}]_0^{\pi} = \frac{3}{2} ((\pi + \frac{\sin(4\pi)}{4}) - (0 + \frac{\sin(0)}{4}))$

Так как $\sin(4\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{3}{2} ((\pi + 0) - (0 + 0)) = \frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

4)

Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла и воспользуемся формулой понижения степени для синуса $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь $\alpha = 4x$, значит $2\alpha = 8x$.

$\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(4x)dx = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos(8x)}{2}dx$

Объединим константы:

$\frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos(8x))dx$

Первообразная для $1 - \cos(8x)$ равна $x - \frac{\sin(8x)}{8}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{8} [x - \frac{\sin(8x)}{8}]_0^{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{8} ((\frac{\pi}{8} - \frac{\sin(8 \cdot \frac{\pi}{8})}{8}) - (0 - \frac{\sin(8 \cdot 0)}{8}))$

$\frac{1}{8} ((\frac{\pi}{8} - \frac{\sin(\pi)}{8}) - (0 - \frac{\sin(0)}{8}))$

Так как $\sin(\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{1}{8} ((\frac{\pi}{8} - 0) - (0 - 0)) = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{64}$

Ответ: $\frac{\pi}{64}$

3.17. 1) $\int_{-1}^{0} \frac{1 - x^2}{1 - x} dx;$

2) $\int_{0}^{1} \frac{16 - x^4}{2 - x} dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1 - 8x^3}{1 - 2x} dx;$

4) $\int_{0}^{2} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 3}{x + 1} dx.$

1) Для вычисления интеграла $\int_{-1}^{0} \frac{1-x^2}{1-x} dx$ сначала упростим подынтегральное выражение. Числитель $1-x^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $1-x^2 = (1-x)(1+x)$.

Подставим это в интеграл и сократим дробь. Сокращение возможно, так как на отрезке интегрирования $[-1, 0]$ знаменатель $1-x$ не обращается в ноль.

$\int_{-1}^{0} \frac{(1-x)(1+x)}{1-x} dx = \int_{-1}^{0} (1+x) dx$.

Теперь найдем первообразную и применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int (1+x) dx = x + \frac{x^2}{2}$.

$\int_{-1}^{0} (1+x) dx = \left(x + \frac{x^2}{2}\right) \Big|_{-1}^{0} = (0 + \frac{0^2}{2}) - (-1 + \frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-1 + \frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{0}^{1} \frac{16-x^4}{2-x} dx$ упростим подынтегральное выражение. Разложим числитель $16-x^4$ на множители как разность квадратов: $16-x^4 = (4-x^2)(4+x^2)$. Множитель $4-x^2$ также является разностью квадратов: $4-x^2 = (2-x)(2+x)$.

Таким образом, $16-x^4 = (2-x)(2+x)(4+x^2)$.

Сократим дробь в подынтегральном выражении (это возможно, так как на отрезке $[0, 1]$ знаменатель $2-x$ не равен нулю):

$\frac{(2-x)(2+x)(4+x^2)}{2-x} = (2+x)(4+x^2) = 8 + 2x^2 + 4x + x^3 = x^3 + 2x^2 + 4x + 8$.

Теперь вычислим интеграл от полученного многочлена:

$\int_{0}^{1} (x^3 + 2x^2 + 4x + 8) dx = \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} + 8x\right) \Big|_{0}^{1} = \left(\frac{x^4}{4} + \frac{2x^3}{3} + 2x^2 + 8x\right) \Big|_{0}^{1}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$(\frac{1^4}{4} + \frac{2 \cdot 1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 + 8 \cdot 1) - 0 = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 8 = \frac{3+8}{12} + 10 = \frac{11}{12} + 10 = \frac{131}{12}$.

Ответ: $\frac{131}{12}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2} \frac{1-8x^3}{1-2x} dx$. Упростим подынтегральное выражение. Числитель $1-8x^3$ представляет собой разность кубов: $1^3 - (2x)^3$. Используем формулу $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

$1-8x^3 = (1-2x)(1^2 + 1 \cdot 2x + (2x)^2) = (1-2x)(1+2x+4x^2)$.

Сократим дробь, так как на отрезке $[1, 2]$ знаменатель $1-2x$ не равен нулю:

$\frac{(1-2x)(1+2x+4x^2)}{1-2x} = 1+2x+4x^2$.

Теперь интегрируем полученный многочлен:

$\int_{1}^{2} (4x^2+2x+1) dx = \left(\frac{4x^3}{3} + \frac{2x^2}{2} + x\right) \Big|_{1}^{2} = \left(\frac{4x^3}{3} + x^2 + x\right) \Big|_{1}^{2}$.

Подставляем пределы:

$(\frac{4 \cdot 2^3}{3} + 2^2 + 2) - (\frac{4 \cdot 1^3}{3} + 1^2 + 1) = (\frac{32}{3} + 4 + 2) - (\frac{4}{3} + 1 + 1) = (\frac{32}{3} + 6) - (\frac{4}{3} + 2) = \frac{32-4}{3} + 6-2 = \frac{28}{3} + 4 = \frac{28+12}{3} = \frac{40}{3}$.

Ответ: $\frac{40}{3}$.

4) Найдем значение интеграла $\int_{0}^{2} \frac{x^3 + 2x^2 + 4x + 3}{x+1} dx$. Степень числителя больше степени знаменателя, поэтому можно выполнить деление многочленов столбиком или сгруппировать слагаемые в числителе.

Выполним деление: $(x^3 + 2x^2 + 4x + 3) \div (x+1)$.

$x^3 + 2x^2 + 4x + 3 = x^2(x+1) + x^2 + 4x + 3 = x^2(x+1) + x(x+1) + 3x + 3 = x^2(x+1) + x(x+1) + 3(x+1) = (x+1)(x^2+x+3)$.

Таким образом, подынтегральная функция упрощается до $x^2+x+3$, так как на отрезке $[0, 2]$ знаменатель $x+1$ не равен нулю.

Вычислим интеграл:

$\int_{0}^{2} (x^2 + x + 3) dx = \left(\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 3x\right) \Big|_{0}^{2}$.

Подставляем пределы интегрирования:

$(\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 3 \cdot 2) - 0 = \frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 6 = \frac{8}{3} + 2 + 6 = \frac{8}{3} + 8 = \frac{8+24}{3} = \frac{32}{3}$.

Ответ: $\frac{32}{3}$.

3.18. 1) $\int_{\pi/8}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)};$

2) $\int_{2\pi/3}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)};$

3) $\int_{\pi/3}^{\pi} \cos\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) dx;$

4) $\int_{0}^{\pi} \left(1 - 2\cos^2\frac{x}{6}\right) dx.$

1) Для вычисления данного интеграла $ \int_{\pi/8}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} $ воспользуемся методом подстановки (замены переменной). Первообразная для функции $ \frac{1}{\cos^2(kx+b)} $ равна $ \frac{1}{k}\tan(kx+b) $.

В нашем случае $ k=2 $ и $ b = -\frac{\pi}{4} $.

Следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{\pi/8}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) \Big|_{\pi/8}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4}) $

$ = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

2) Вычислим интеграл $ \int_{2\pi/3}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})} $.

Первообразная для функции $ \frac{1}{\sin^2(kx+b)} $ равна $ -\frac{1}{k}\cot(kx+b) $.

В данном случае $ k = \frac{1}{2} $ и $ b = -\frac{\pi}{6} $.

Таким образом, первообразная $ F(x) = -\frac{1}{1/2}\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) = -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{2\pi/3}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})} = -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) \Big|_{2\pi/3}^{\pi} = -2\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - (-2\cot(\frac{1}{2}\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6})) $

$ = -2\cot(\frac{3\pi-\pi}{6}) + 2\cot(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = -2\cot(\frac{2\pi}{6}) + 2\cot(\frac{2\pi-\pi}{6}) = -2\cot(\frac{\pi}{3}) + 2\cot(\frac{\pi}{6}) $

$ = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3 - 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{3}}{3} $

3) Для вычисления интеграла $ \int_{\pi/3}^{\pi} \cos(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) dx $ используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, из которой следует $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

Пусть $ \alpha = \frac{x}{4} - \frac{\pi}{12} $. Тогда подынтегральное выражение преобразуется к виду:

$ \frac{1}{2}\sin(2(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12})) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.

Интеграл становится: $ \int_{\pi/3}^{\pi} \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx $.

Первообразная для $ \sin(kx+b) $ есть $ -\frac{1}{k}\cos(kx+b) $. Здесь $ k=\frac{1}{2} $.

$ \int \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})) = -\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [-\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})] \Big|_{\pi/3}^{\pi} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - (-\cos(\frac{1}{2}\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) $

$ = -\frac{1}{2} + \cos(0) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

4) Рассмотрим интеграл $ \int_{0}^{\pi} (1 - 2\cos^2\frac{x}{6}) dx $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $. Отсюда $ 1 - 2\cos^2\alpha = -\cos(2\alpha) $.

Пусть $ \alpha = \frac{x}{6} $. Тогда подынтегральное выражение равно $ -\cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = -\cos(\frac{x}{3}) $.

Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\pi} -\cos(\frac{x}{3}) dx $.

Находим первообразную: $ \int -\cos(\frac{x}{3}) dx = -\frac{1}{1/3}\sin(\frac{x}{3}) = -3\sin(\frac{x}{3}) $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [-3\sin(\frac{x}{3})] \Big|_{0}^{\pi} = -3\sin(\frac{\pi}{3}) - (-3\sin(\frac{0}{3})) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-3 \cdot 0) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\sqrt{3}}{2} $

3.19. 1) $\int_2^6 \frac{dx}{\sqrt{3x - 2}}$;

2) $\int_4^7 \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}}$;

3) $\int_4^{20} \frac{dx}{2 \cdot \sqrt{\frac{x}{2} - 1}}$;

4) $\int_0^9 \frac{dx}{4 \cdot \sqrt{\frac{x}{3} + 1}}$.

1) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}}$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 3x - 2$. Тогда дифференциал $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$. Найдем новые пределы интегрирования. Если $x = 2$, то $t = 3(2) - 2 = 4$. Если $x = 6$, то $t = 3(6) - 2 = 16$. Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:$\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}} = \int_{4}^{16} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} t^{-1/2} dt$.Теперь найдем первообразную:$\frac{1}{3} \left[ \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right]_{4}^{16} = \frac{1}{3} \left[ \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{4}^{16} = \frac{1}{3} [2\sqrt{t}]_{4}^{16}$.Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:$\frac{2}{3} (\sqrt{16} - \sqrt{4}) = \frac{2}{3} (4 - 2) = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}}$ применим метод замены переменной. Пусть $t = 3x + 4$. Тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$. Найдем новые пределы интегрирования. Если $x = 4$, то $t = 3(4) + 4 = 16$. Если $x = 7$, то $t = 3(7) + 4 = 25$. Выполним подстановку:$\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}} = \int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{16}^{25} t^{-1/2} dt$.Найдем первообразную и вычислим определенный интеграл:$\frac{1}{3} [2\sqrt{t}]_{16}^{25} = \frac{2}{3} (\sqrt{25} - \sqrt{16}) = \frac{2}{3} (5 - 4) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{4}^{20} \frac{dx}{2\sqrt{\frac{x}{2}-1}}$. Вынесем константу за знак интеграла: $\frac{1}{2} \int_{4}^{20} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{2}-1}}$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{2} - 1$. Тогда $dt = \frac{1}{2}dx$, откуда $dx = 2dt$. Новые пределы интегрирования: если $x = 4$, то $t = \frac{4}{2} - 1 = 1$. Если $x = 20$, то $t = \frac{20}{2} - 1 = 9$. Подставляем в интеграл:$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{2dt}{\sqrt{t}} = \int_{1}^{9} t^{-1/2} dt$.Вычисляем интеграл:$[2\sqrt{t}]_{1}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4$.

Ответ: $4$.

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{9} \frac{dx}{4\sqrt{\frac{x}{3}+1}}$. Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла: $\frac{1}{4} \int_{0}^{9} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{3}+1}}$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{3} + 1$. Тогда $dt = \frac{1}{3}dx$, откуда $dx = 3dt$. Новые пределы интегрирования: если $x = 0$, то $t = \frac{0}{3} + 1 = 1$. Если $x = 9$, то $t = \frac{9}{3} + 1 = 3 + 1 = 4$. Выполним подстановку:$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} \frac{3dt}{\sqrt{t}} = \frac{3}{4} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt$.Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:$\frac{3}{4} [2\sqrt{t}]_{1}^{4} = \frac{3}{2} [\sqrt{t}]_{1}^{4} = \frac{3}{2} (\sqrt{4} - \sqrt{1}) = \frac{3}{2} (2 - 1) = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.

При каких значениях x выполняются равенства (3.20–3.21):

3.20. 1) $ \int_{0}^{x} (5 - 2t)dt = 4; $

2) $ \int_{0}^{x} (8 - 2t)dt = 12. $

1) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $\int_{0}^{x}(5 - 2t)dt = 4$, необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Найдем одну из первообразных для подынтегральной функции $f(t) = 5 - 2t$:

$F(t) = \int(5 - 2t)dt = 5t - t^2$.

Далее, применяем формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{x}(5 - 2t)dt = (5t - t^2)\Big|_{0}^{x} = (5x - x^2) - (5 \cdot 0 - 0^2) = 5x - x^2$.

Теперь приравняем полученное выражение к 4, согласно условию задачи:

$5x - x^2 = 4$.

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Для нахождения корней этого уравнения можно воспользоваться теоремой Виета (сумма корней равна 5, произведение равно 4), что дает корни $x_1=1$ и $x_2=4$.

В качестве альтернативы решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$;

$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.

Следовательно, равенство выполняется при двух значениях $x$.

Ответ: $x=1, x=4$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $\int_{0}^{x}(8 - 2t)dt = 12$, поступим аналогично.

Вычислим определенный интеграл. Найдем одну из первообразных для $f(t) = 8 - 2t$:

$F(t) = \int(8 - 2t)dt = 8t - t^2$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{x}(8 - 2t)dt = (8t - t^2)\Big|_{0}^{x} = (8x - x^2) - (8 \cdot 0 - 0^2) = 8x - x^2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$8x - x^2 = 12$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 8x + 12 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=6$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$.

$x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2$;

$x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$.

Следовательно, равенство выполняется при двух значениях $x$.

Ответ: $x=2, x=6$.

3.21. 1) $\int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = 4 - 2x;$

2) $\int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = 12 - 9x?$

1) Чтобы решить уравнение $ \int_{0}^{x} (3 - 2t) dt = 4 - 2x $, необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(t) = 3 - 2t $:

$ F(t) = \int (3 - 2t) dt = 3t - 2\frac{t^2}{2} = 3t - t^2 $.

Далее, используя формулу Ньютона-Лейбница, вычисляем значение определенного интеграла:

$ \int_{0}^{x} (3 - 2t) dt = [3t - t^2]_{0}^{x} = (3x - x^2) - (3 \cdot 0 - 0^2) = 3x - x^2 $.

Теперь подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$ 3x - x^2 = 4 - 2x $.

Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 3x - 2x + 4 = 0 $

$ x^2 - 5x + 4 = 0 $.

Решаем полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 4. Это числа 1 и 4.

Проверка через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.

$ x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.

Ответ: $x=1, x=4$.

2) Решим уравнение $ \int_{0}^{x} (1 - 4t) dt = 12 - 9x $.

Действуем аналогично первому заданию. Сначала вычисляем интеграл.

Первообразная для функции $ f(t) = 1 - 4t $:

$ F(t) = \int (1 - 4t) dt = t - 4\frac{t^2}{2} = t - 2t^2 $.

Вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{x} (1 - 4t) dt = [t - 2t^2]_{0}^{x} = (x - 2x^2) - (0 - 2 \cdot 0^2) = x - 2x^2 $.

Подставляем результат в исходное уравнение:

$ x - 2x^2 = 12 - 9x $.

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

$ 2x^2 - x - 9x + 12 = 0 $

$ 2x^2 - 10x + 12 = 0 $.

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $.

Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

Проверка через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 = 1^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

$ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.

Ответ: $x=2, x=3$.

При каких значениях x выполняются неравенства (3.22–3.23):

3.22. 1) $\int_{0}^{x} 3dt > 1;$

2) $\int_{x}^{x^2} 4dt < 0.

1) Чтобы решить неравенство $\int_{0}^{x} 3dt > 1$, сначала вычислим определенный интеграл в левой части.

Первообразная для подынтегральной функции $f(t) = 3$ есть $F(t) = 3t$.

Используя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$\int_{0}^{x} 3dt = F(x) - F(0) = 3x - 3 \cdot 0 = 3x$.

Теперь исходное неравенство принимает вид:

$3x > 1$.

Разделив обе части на 3, находим решение:

$x > \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; +\infty)$.

2) Рассмотрим неравенство $\int_{x}^{x^2} 4dt < 0$.

Аналогично первому пункту, вычислим определенный интеграл.

Первообразная для подынтегральной функции $g(t) = 4$ есть $G(t) = 4t$.

По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{x}^{x^2} 4dt = G(x^2) - G(x) = 4x^2 - 4x$.

Неравенство приобретает вид:

$4x^2 - 4x < 0$.

Это квадратичное неравенство. Решим его. Сначала разделим обе части на 4:

$x^2 - x < 0$.

Вынесем $x$ за скобки:

$x(x - 1) < 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x(x - 1) = 0$. Корни равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x$ направлены вверх, значения функции будут отрицательными между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(0, 1)$.

Ответ: $x \in (0; 1)$.

3.23. 1) $\int_x^1 5dt > 9;$

2) $\int_x^2 (2t - 1)dt > 0?$

Для решения этого неравенства сначала вычислим определенный интеграл в левой части. Первообразной для функции $f(t) = 5$ является $F(t) = 5t$. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$\int_x^1 5dt = [5t]_x^1 = 5 \cdot 1 - 5 \cdot x = 5 - 5x$.

Теперь подставим результат в исходное неравенство и решим его относительно $x$:

$5 - 5x > 9$

Вычтем 5 из обеих частей неравенства:

$-5x > 9 - 5$

$-5x > 4$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x < -\frac{4}{5}$

Ответ: $x \in (-\infty; -4/5)$.

Сначала найдем значение определенного интеграла. Первообразной для подынтегральной функции $f(t) = 2t - 1$ является $F(t) = t^2 - t$. По формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_x^2 (2t - 1)dt = [t^2 - t]_x^2 = (2^2 - 2) - (x^2 - x) = (4 - 2) - (x^2 - x) = 2 - x^2 + x$.

Теперь решим полученное квадратное неравенство:

$-x^2 + x + 2 > 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:

$x^2 - x - 2 < 0$

Далее найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 2$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $x^2 - x - 2 < 0$ выполняется на интервале между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $-1 < x < 2$.

Ответ: $x \in (-1; 2)$.