Страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите площадь фигуры, ограниченной на отрезках $[a; b]$ и $[b; c]$, соответственно, графиками функций $f(x)$ и $g(x)$ и осью $Ox$ (2.9–2.10):

2.9. 1) $f(x) = -x^2 + 2x$, $[0; 1]$ и $g(x) = 1.5 - 0.5x$, $[1; 3];$

2) $f(x) = x$, $[0; 1]$ и $g(x) = x^2 - 4x + 4$, $[1; 2].$

1)

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры, которая составлена из двух частей. Первая часть — это фигура, ограниченная графиком функции $f(x) = -x^2 + 2x$ и осью $Ox$ на отрезке $[0; 1]$. Вторая часть — фигура, ограниченная графиком функции $g(x) = 1,5 - 0,5x$ и осью $Ox$ на отрезке $[1; 3]$. Общая площадь $S$ будет равна сумме площадей этих двух частей: $S = S_1 + S_2$.

Сначала вычислим площадь первой части, $S_1$. Для этого проверим, что функция $f(x) = -x^2 + 2x$ неотрицательна на отрезке $[0; 1]$. Корни этой параболы — $x=0$ и $x=2$. Ветви направлены вниз, значит, на интервале $(0; 2)$ функция положительна. Отрезок $[0; 1]$ входит в этот промежуток, следовательно, $f(x) \ge 0$ на $[0; 1]$. Площадь вычисляется как определенный интеграл:

$S_1 = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x) \,dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = -\frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} = -\frac{x^3}{3} + x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S_1 = F(1) - F(0) = \left(-\frac{1^3}{3} + 1^2\right) - \left(-\frac{0^3}{3} + 0^2\right) = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$

Теперь вычислим площадь второй части, $S_2$. Проверим знак функции $g(x) = 1,5 - 0,5x$ на отрезке $[1; 3]$. Это линейная функция, которая обращается в ноль при $1,5 - 0,5x = 0$, то есть при $x=3$. На отрезке $[1; 3]$ функция $g(x)$ неотрицательна. Площадь вычисляется как интеграл:

$S_2 = \int_{1}^{3} (1,5 - 0,5x) \,dx$

Находим первообразную:

$G(x) = 1,5x - 0,5 \cdot \frac{x^2}{2} = 1,5x - 0,25x^2$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S_2 = G(3) - G(1) = (1,5 \cdot 3 - 0,25 \cdot 3^2) - (1,5 \cdot 1 - 0,25 \cdot 1^2) = (4,5 - 2,25) - (1,5 - 0,25) = 2,25 - 1,25 = 1$

Общая площадь фигуры равна сумме площадей:

$S = S_1 + S_2 = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3}$

Ответ: $\frac{5}{3}$

2)

В этом случае общая площадь $S$ также является суммой двух площадей: $S_1$, ограниченной графиком $f(x) = x$ и осью $Ox$ на отрезке $[0; 1]$, и $S_2$, ограниченной графиком $g(x) = x^2 - 4x + 4$ и осью $Ox$ на отрезке $[1; 2]$.

Вычислим площадь $S_1$. Функция $f(x) = x$ неотрицательна на отрезке $[0; 1]$.

$S_1 = \int_{0}^{1} x \,dx$

Первообразная для $f(x)=x$ есть $F(x) = \frac{x^2}{2}$.

$S_1 = F(1) - F(0) = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$

Вычислим площадь $S_2$. Функция $g(x) = x^2 - 4x + 4$ является полным квадратом: $g(x) = (x-2)^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $g(x) \ge 0$ для всех $x$, в том числе и на отрезке $[1; 2]$.

$S_2 = \int_{1}^{2} (x-2)^2 \,dx = \int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 4) \,dx$

Находим первообразную для $g(x)$:

$G(x) = \frac{x^3}{3} - 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 4x = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S_2 = G(2) - G(1) = \left(\frac{2^3}{3} - 2 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2\right) - \left(\frac{1^3}{3} - 2 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1\right) = \left(\frac{8}{3} - 8 + 8\right) - \left(\frac{1}{3} - 2 + 4\right) = \frac{8}{3} - \left(\frac{1}{3} + 2\right) = \frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3}$

Общая площадь фигуры равна сумме:

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

2.10. 1) $f(x) = 0.5x + 1.5$, $[-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 - 2x$, $[-1; 0];$

2) $f(x) = x^2 + 4x + 4$, $[-2; -1]$ и $g(x) = -x$, $[-1; 0].$

1)

Для функции $f(x) = 0,5x + 1,5$ на отрезке $[-3; -1]$:

Данная функция является линейной. Ее график — прямая линия. Угловой коэффициент $k=0,5$ положителен, следовательно, функция возрастает на всей своей области определения, включая отрезок $[-3; -1]$.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(-3) = 0,5 \cdot (-3) + 1,5 = -1,5 + 1,5 = 0$.

Наибольшее значение: $f(-1) = 0,5 \cdot (-1) + 1,5 = -0,5 + 1,5 = 1$.

Область значений функции $f(x)$ на отрезке $[-3; -1]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Для функции $g(x) = -x^2 - 2x$ на отрезке $[-1; 0]$:

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$).

Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине. Найдем координату x вершины параболы:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.

Абсцисса вершины $x_в = -1$ является левым концом заданного отрезка $[-1; 0]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция убывает на промежутке $[-1; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[-1; 0]$ функция убывает.

Таким образом, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.

Наименьшее значение: $g(0) = -(0)^2 - 2(0) = 0$.

Область значений функции $g(x)$ на отрезке $[-1; 0]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Ответ: область значений для $f(x)$ на $[-3; -1]$ равна $[0; 1]$; область значений для $g(x)$ на $[-1; 0]$ равна $[0; 1]$.

2)

Для функции $f(x) = x^2 + 4x + 4$ на отрезке $[-2; -1]$:

Данная функция является квадратичной. Заметим, что выражение можно представить в виде полного квадрата: $f(x) = (x+2)^2$.

График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы $x_в = -2$, что совпадает с левым концом отрезка $[-2; -1]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[-2; -1]$ функция возрастает.

Таким образом, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(-2) = (-2+2)^2 = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение: $f(-1) = (-1+2)^2 = 1^2 = 1$.

Область значений функции $f(x)$ на отрезке $[-2; -1]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Для функции $g(x) = -x$ на отрезке $[-1; 0]$:

Данная функция является линейной. Ее график — прямая. Угловой коэффициент $k=-1$ отрицателен, следовательно, функция убывает на всей своей области определения, включая отрезок $[-1; 0]$.

Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $g(-1) = -(-1) = 1$.

Наименьшее значение: $g(0) = -0 = 0$.

Область значений функции $g(x)$ на отрезке $[-1; 0]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Ответ: область значений для $f(x)$ на $[-2; -1]$ равна $[0; 1]$; область значений для $g(x)$ на $[-1; 0]$ равна $[0; 1]$.