Страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями (2.5–2.8):

2.5. 1) $y = \frac{1}{(x+1)^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

2) $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 0$.

1)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, где $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В данном случае $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$, $a=1$, $b=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция непрерывна и принимает только положительные значения, поэтому искомая площадь равна:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} \,dx = \int_{1}^{2} (x+1)^{-2} \,dx$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = (x+1)^{-2}$ находится как $\int (x+1)^{-2} \,d(x+1) = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+1}$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[ -\frac{1}{x+1} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2+1}\right) - \left(-\frac{1}{1+1}\right) = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2)

Аналогично вычисляем площадь для криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, $y=0$, $x=-1$, $x=0$.

Здесь $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$, $a=-1$, $b=0$. На отрезке $[-1, 0]$ функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна, так как знаменатель $(x-1)^2$ не обращается в ноль (точка разрыва $x=1$ не принадлежит отрезку интегрирования) и всегда положителен.

Площадь вычисляется как интеграл:

$S = \int_{-1}^{0} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx = \int_{-1}^{0} (x-1)^{-2} \,dx$.

Первообразная для $f(x) = (x-1)^{-2}$ равна $-\frac{1}{x-1}$.

Вычисляем значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\frac{1}{x-1} \right]_{-1}^{0} = \left(-\frac{1}{0-1}\right) - \left(-\frac{1}{-1-1}\right) = \left(-\frac{1}{-1}\right) - \left(-\frac{1}{-2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2.6. 1) $y = 3x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$;

2) $y = 3x - x^2$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 1$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = 3x^2 - 4x$, $y = 0$, $x = -2$ и $x = -1$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$

В данном случае $f(x) = 3x^2 - 4x$, $a = -2$ и $b = -1$.

Сначала определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[-2, -1]$. Найдем нули функции, решив уравнение $f(x)=0$:

$3x^2 - 4x = 0$

$x(3x - 4) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{4}{3}$.

Функция $y = 3x^2 - 4x$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, функция положительна при $x < 0$ и при $x > \frac{4}{3}$.

Интервал интегрирования $[-2, -1]$ полностью попадает в область, где $x < 0$, поэтому на этом отрезке функция $f(x)$ положительна, и $|f(x)| = f(x)$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_{-2}^{-1} (3x^2 - 4x) dx$

Находим первообразную для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (3x^2 - 4x) dx = 3\frac{x^3}{3} - 4\frac{x^2}{2} = x^3 - 2x^2$

Подставляем пределы интегрирования:

$S = [x^3 - 2x^2]_{-2}^{-1} = F(-1) - F(-2)$

$S = ((-1)^3 - 2(-1)^2) - ((-2)^3 - 2(-2)^2)$

$S = (-1 - 2 \cdot 1) - (-8 - 2 \cdot 4)$

$S = (-1 - 2) - (-8 - 8)$

$S = -3 - (-16) = -3 + 16 = 13$

Ответ: $13$

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 3x - x^2$, $y = 0$, $x = 1$ и $x = 2$.

Площадь вычисляется по той же формуле:

$S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$

Здесь $f(x) = 3x - x^2$, $a = 1$ и $b = 2$.

Определим знак функции $f(x)$ на отрезке $[1, 2]$. Найдем нули функции:

$3x - x^2 = 0$

$x(3 - x) = 0$

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Функция $y = 3x - x^2$ — это парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен). Функция положительна между корнями, то есть на интервале $(0, 3)$.

Отрезок интегрирования $[1, 2]$ полностью содержится в интервале $(0, 3)$, где $f(x) > 0$. Таким образом, $|f(x)| = f(x)$ на данном отрезке.

Вычисляем определенный интеграл:

$S = \int_{1}^{2} (3x - x^2) dx$

Находим первообразную:

$F(x) = \int (3x - x^2) dx = 3\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}$

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\frac{3x^2}{2} - \frac{x^3}{3}]_{1}^{2} = F(2) - F(1)$

$S = (\frac{3 \cdot 2^2}{2} - \frac{2^3}{3}) - (\frac{3 \cdot 1^2}{2} - \frac{1^3}{3})$

$S = (\frac{3 \cdot 4}{2} - \frac{8}{3}) - (\frac{3}{2} - \frac{1}{3})$

$S = (6 - \frac{8}{3}) - (\frac{3}{2} - \frac{1}{3})$

Приведем выражения в скобках к общему знаменателю:

$S = (\frac{18}{3} - \frac{8}{3}) - (\frac{9}{6} - \frac{2}{6})$

$S = \frac{10}{3} - \frac{7}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$S = \frac{10 \cdot 2}{6} - \frac{7}{6} = \frac{20 - 7}{6} = \frac{13}{6}$

Ответ: $\frac{13}{6}$

2.7. 1) $y = \sin \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$;

2) $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

1) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin\frac{x}{2}$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, используется определенный интеграл.

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

В данном случае, $f(x) = \sin\frac{x}{2}$, $a = \frac{\pi}{2}$, $b = \frac{3\pi}{2}$.

Сначала проверим знак функции $f(x)$ на интервале $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$, аргумент функции $\frac{x}{2}$ изменяется от $\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ до $\frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

На интервале $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ (первая и вторая координатные четверти) значение синуса неотрицательно, т.е. $\sin\frac{x}{2} \ge 0$.

Следовательно, модуль можно опустить, и площадь вычисляется как:

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \sin\frac{x}{2} dx$

Найдем первообразную для функции $\sin\frac{x}{2}$. Используя формулу $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, получаем:

$\int \sin\frac{x}{2} dx = -\frac{1}{1/2}\cos\frac{x}{2} + C = -2\cos\frac{x}{2} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-2\cos\frac{x}{2}]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \left(-2\cos\frac{3\pi/2}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\pi/2}{2}\right) = -2\cos\frac{3\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{4}$

Подставим известные значения косинусов $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S = -2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$.

2) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos(2x)$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$, также используем определенный интеграл.

Формула площади: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

Здесь $f(x) = \cos(2x)$, $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

Проверим знак функции $f(x)$ на интервале $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Когда $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$, аргумент функции $2x$ изменяется от $2(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2}$ до $2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$.

На интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (четвертая и первая координатные четверти) значение косинуса неотрицательно, т.е. $\cos(2x) \ge 0$.

Следовательно, модуль можно опустить:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx$

Так как функция $y = \cos(2x)$ является четной (т.е. $\cos(-2x) = \cos(2x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx$

Найдем первообразную для $\cos(2x)$. Используя формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, получаем:

$\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$

Вычислим определенный интеграл:

$S = 2 \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = [\sin(2x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \sin(2 \cdot 0)$

$S = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

Ответ: $1$.

2.8. 1) $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $y = 0$, $x = -\frac{3}{4}$, $x = 1$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -3$.

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $y=0$, $x = -\frac{3}{4}$ и $x=1$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура представляет собой криволинейную трапецию, расположенную над осью Ox, так как функция $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$ положительна на интервале $[-\frac{3}{4}, 1]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $a = -\frac{3}{4}$, $b=1$.

$S = \int_{-\frac{3}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{-\frac{1}{2}}$.

$\int (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{(x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x+1} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. 2\sqrt{x+1} \right|_{-\frac{3}{4}}^{1} = 2\sqrt{1+1} - 2\sqrt{-\frac{3}{4}+1} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{2} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2} - 1$

2)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y=0$, $x=0$ и $x=-3$, также используем определенный интеграл. Пределы интегрирования будут от -3 до 0. Функция $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ положительна на интервале $[-3, 0]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $a = -3$, $b=0$.

$S = \int_{-3}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} = (1-x)^{-\frac{1}{2}}$. Для этого сделаем замену $u = 1-x$, тогда $du = -dx$.

$\int (1-x)^{-\frac{1}{2}} dx = \int u^{-\frac{1}{2}} (-du) = -\int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{1-x} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -2\sqrt{1-x} \right|_{-3}^{0} = (-2\sqrt{1-0}) - (-2\sqrt{1-(-3)}) = -2\sqrt{1} - (-2\sqrt{4}) = -2 - (-2 \cdot 2) = -2 + 4 = 2$.

Ответ: $2$