Номер 2.5, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями (2.5–2.8):

2.5. 1) $y = \frac{1}{(x+1)^2}$, $y = 0$, $x = 1$, $x = 2$;

2) $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, $y = 0$, $x = -1$, $x = 0$.

1)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, где $f(x) \ge 0$ на отрезке $[a, b]$, вычисляется по формуле определенного интеграла: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$.

В данном случае $f(x) = \frac{1}{(x+1)^2}$, $a=1$, $b=2$. На отрезке $[1, 2]$ функция непрерывна и принимает только положительные значения, поэтому искомая площадь равна:

$S = \int_{1}^{2} \frac{1}{(x+1)^2} \,dx = \int_{1}^{2} (x+1)^{-2} \,dx$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = (x+1)^{-2}$ находится как $\int (x+1)^{-2} \,d(x+1) = \frac{(x+1)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x+1}$.

Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получаем:

$S = \left[ -\frac{1}{x+1} \right]_{1}^{2} = \left(-\frac{1}{2+1}\right) - \left(-\frac{1}{1+1}\right) = -\frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2)

Аналогично вычисляем площадь для криволинейной трапеции, ограниченной линиями $y = \frac{1}{(x-1)^2}$, $y=0$, $x=-1$, $x=0$.

Здесь $f(x) = \frac{1}{(x-1)^2}$, $a=-1$, $b=0$. На отрезке $[-1, 0]$ функция $f(x)$ непрерывна и неотрицательна, так как знаменатель $(x-1)^2$ не обращается в ноль (точка разрыва $x=1$ не принадлежит отрезку интегрирования) и всегда положителен.

Площадь вычисляется как интеграл:

$S = \int_{-1}^{0} \frac{1}{(x-1)^2} \,dx = \int_{-1}^{0} (x-1)^{-2} \,dx$.

Первообразная для $f(x) = (x-1)^{-2}$ равна $-\frac{1}{x-1}$.

Вычисляем значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left[ -\frac{1}{x-1} \right]_{-1}^{0} = \left(-\frac{1}{0-1}\right) - \left(-\frac{1}{-1-1}\right) = \left(-\frac{1}{-1}\right) - \left(-\frac{1}{-2}\right) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.