Номер 2.4, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.4. Вычислите площади криволинейных трапеций, изображенных на рисунке 14:

1)

$y = x^2 - 2x + 1$

2)

$y = 2 + 2x - x^2$

3)

$y = x^2$

4)

$y = 3\sin x$

Рис. 14

1)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_a^b f(x)dx$.

В данном случае функция $f(x) = x^2 - 2x + 1$. Из графика видно, что пределы интегрирования: $a=0$ и $b=1$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_0^1 (x^2 - 2x + 1)dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 - 2x + 1$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x = \frac{x^3}{3} - x^2 + x$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(1) - F(0) = \left. \left(\frac{x^3}{3} - x^2 + x \right) \right|_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right) - \left(\frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 \right) = \left(\frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2)

Функция, ограничивающая трапецию сверху: $y = 2 + 2x - x^2$. Пределы интегрирования по оси $Ox$, согласно рисунку, от $a=0$ до $b=2$.

Вычислим площадь с помощью определенного интеграла:

$S = \int_0^2 (2 + 2x - x^2)dx$

Находим первообразную:

$F(x) = 2x + 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 2x + x^2 - \frac{x^3}{3}$

Вычисляем площадь:

$S = F(2) - F(0) = \left. \left(2x + x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^2 = \left(2 \cdot 2 + 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left(2 \cdot 0 + 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = \left(4 + 4 - \frac{8}{3} \right) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$

3)

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{4}x^4$ и прямыми $x=-2$ и $x=2$.

Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4$ является четной, так как $f(-x) = \frac{1}{4}(-x)^4 = \frac{1}{4}x^4 = f(x)$. Интервал интегрирования $[-2, 2]$ симметричен относительно нуля. Поэтому площадь можно вычислить как удвоенную площадь на отрезке $[0, 2]$:

$S = \int_{-2}^2 \frac{1}{4}x^4 dx = 2 \int_0^2 \frac{1}{4}x^4 dx = \frac{1}{2} \int_0^2 x^4 dx$

Находим первообразную для $x^4$:

$F(x) = \frac{x^5}{5}$

Вычисляем площадь:

$S = \frac{1}{2} \left. \left(\frac{x^5}{5} \right) \right|_0^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$

Ответ: $\frac{16}{5}$

4)

Фигура ограничена графиком функции $y = 3\sin x$ и прямыми $x=\frac{\pi}{4}$ и $x=\pi$.

Вычисляем площадь с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi} 3\sin x dx$

Находим первообразную для $3\sin x$:

$F(x) = -3\cos x$

Вычисляем площадь:

$S = \left. (-3\cos x) \right|_{\pi/4}^{\pi} = (-3\cos(\pi)) - (-3\cos(\frac{\pi}{4})) = -3(-1) + 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$