Страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

3. Какой должна быть функция $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

Основное различие между этими двумя понятиями заключается в форме их границ.

Трапеция в классической геометрии — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Важно, что все четыре стороны трапеции являются отрезками прямых. Это многоугольник.

Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная тремя отрезками прямых и одной кривой линией. В стандартном случае она ограничена осью абсцисс ($y=0$), двумя вертикальными прямыми ($x=a$ и $x=b$) и графиком непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$. Таким образом, в отличие от обычной трапеции, у которой верхнее основание является отрезком прямой, у криволинейной трапеции "верхняя" сторона — это кривая.

Ответ: Обычная трапеция — это многоугольник, ограниченный четырьмя отрезками прямых. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками прямых и одной кривой линией (графиком функции).

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

Нет, в общем случае это невозможно. Формулы из школьного курса геометрии (например, площадь треугольника, прямоугольника, обычной трапеции) предназначены для вычисления площадей фигур, ограниченных исключительно отрезками прямых (многоугольников), или для специфических фигур вроде круга.

Поскольку одна из границ криволинейной трапеции является кривой, заданной произвольной функцией $y=f(x)$, стандартные геометрические формулы неприменимы. Для нахождения ее площади используется метод математического анализа — вычисление определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Ответ: Нет, площадь криволинейной трапеции вычисляется не с помощью стандартных геометрических формул, а с помощью определенного интеграла.

3. Какой должна быть функция y = f(x) на отрезке [a; b]?

Чтобы фигура, ограниченная графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, считалась криволинейной трапецией, и ее площадь можно было корректно вычислить с помощью интеграла, функция $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна удовлетворять двум основным условиям:

1. Непрерывность. Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на всем отрезке $[a; b]$. Это обеспечивает, что ее график является сплошной линией без разрывов, что необходимо для формирования замкнутой фигуры с четко определенной площадью.

2. Неотрицательность. В классическом определении функция $f(x)$ должна быть неотрицательной на отрезке $[a; b]$, то есть $f(x) \ge 0$ для любого $x \in [a; b]$. Это условие гарантирует, что график функции расположен выше или на оси абсцисс, и вычисленный интеграл будет равен геометрической площади фигуры.

Ответ: Функция $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна быть непрерывной и неотрицательной.

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной следующими линиями (2.1–2.3):

2.1. 1) $y = x^2 + 1$, $y = 0$, $x = 0$, $x = 1$;

2) $y = x^2 - 1$, $y = 0$, $x = 2$, $x = 3$.

2.1. 1) Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $y=f(x)$, осью абсцисс $y=0$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$.

В данном случае имеем: $f(x) = x^2 + 1$, $a=0$, $b=1$. Функция $f(x) = x^2 + 1$ является положительной при всех значениях $x$, так как $x^2 \ge 0$, следовательно $x^2 + 1 \ge 1 > 0$. Значит, функция неотрицательна и на отрезке $[0, 1]$.

Вычислим площадь:$S = \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx = \left(\frac{x^3}{3} + x\right)\Big|_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} + 1\right) - \left(\frac{0^3}{3} + 0\right) = \frac{1}{3} + 1 - 0 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$

2.1. 2) Для нахождения площади используется та же формула $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$.

Здесь $f(x) = x^2 - 1$, $a=2$, $b=3$. Необходимо убедиться, что функция $f(x)$ неотрицательна на отрезке $[2, 3]$. Для любого $x \in [2, 3]$ выполняется неравенство $x \ge 2$, следовательно $x^2 \ge 4$, а $x^2 - 1 \ge 3$. Таким образом, функция $f(x) = x^2 - 1$ неотрицательна на заданном отрезке.

Вычислим площадь:$S = \int_{2}^{3} (x^2 - 1) dx = \left(\frac{x^3}{3} - x\right)\Big|_2^3 = \left(\frac{3^3}{3} - 3\right) - \left(\frac{2^3}{3} - 2\right) = \left(\frac{27}{3} - 3\right) - \left(\frac{8}{3} - 2\right) = (9 - 3) - \left(\frac{8}{3} - \frac{6}{3}\right) = 6 - \frac{2}{3} = \frac{18}{3} - \frac{2}{3} = \frac{16}{3}$.

Ответ: $\frac{16}{3}$

2.2. 1) $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$;

2) $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$, $x = \pi$.

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$, необходимо найти определенный интеграл. Данная фигура является криволинейной трапецией.

На отрезке $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$ функция $y = \cos x$ принимает неотрицательные значения, то есть ее график расположен выше оси $Ox$. Поэтому площадь $S$ можно вычислить по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае $f(x) = \cos x$, $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

$S = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} \cos x \,dx$

Первообразная для функции $\cos x$ есть $\sin x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [\sin x]_{-\pi/4}^{\pi/4} = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)$

Мы знаем, что $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Подставляем значения:

$S = \frac{\sqrt{2}}{2} - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

Ответ: $S = \sqrt{2}$.

2)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin x$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{3}$ и $x = \pi$, также используем определенный интеграл.

На отрезке $[\frac{\pi}{3}, \pi]$ функция $y = \sin x$ принимает неотрицательные значения, так как этот отрезок находится в первой и второй координатных четвертях, где синус положителен.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{\pi/3}^{\pi} \sin x \,dx$

Первообразная для функции $\sin x$ есть $-\cos x$. Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$S = [-\cos x]_{\pi/3}^{\pi} = (-\cos(\pi)) - \left(-\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)\right)$

Мы знаем, что $\cos(\pi) = -1$ и $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Подставляем значения:

$S = (-(-1)) - \left(-\frac{1}{2}\right) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Ответ: $S = \frac{3}{2}$.

2.3. 1) $y = x^3 + 1,$ $y = 0,$ $x = -1,$ $x = 2;$

2) $y = 1 - x^3,$ $y = 0,$ $x = -2,$ $x = 1.$

1) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 2$. Эта фигура является криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле $S = \int_a^b |f(x)|dx$.

В данном случае $f(x) = x^3 + 1$, $a=-1$, $b=2$. Исследуем знак функции на отрезке $[-1, 2]$. Найдем нули функции: $x^3+1=0 \implies x^3=-1 \implies x=-1$. При $x > -1$, значение $x^3 > -1$, следовательно, $x^3 + 1 > 0$. Таким образом, на всем отрезке интегрирования $[-1, 2]$ функция $y=x^3+1$ является неотрицательной ($y \ge 0$).

Это означает, что модуль можно опустить, и площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) dx$

Для вычисления интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$, найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (x^3 + 1) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + x = \frac{x^4}{4} + x$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left. \left( \frac{x^4}{4} + x \right) \right|_{-1}^{2} = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + (-1) \right)$

Выполним вычисления:

$S = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = (4+2) - \left(-\frac{3}{4}\right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$

Ответ: $\frac{27}{4}$.

2) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = -2$ и $x = 1$. Эта фигура является криволинейной трапецией.

Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b |f(x)|dx$.

В данном случае $f(x) = 1 - x^3$, $a=-2$, $b=1$. Исследуем знак функции на отрезке $[-2, 1]$. Найдем нули функции: $1 - x^3 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x=1$. При $x < 1$, значение $x^3 < 1$, следовательно, $1 - x^3 > 0$. Таким образом, на всем отрезке интегрирования $[-2, 1]$ функция $y=1-x^3$ является неотрицательной ($y \ge 0$).

Это означает, что модуль можно опустить, и площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-2}^{1} (1 - x^3) dx$

Для вычисления интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$, найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (1 - x^3) dx = x - \frac{x^{3+1}}{3+1} = x - \frac{x^4}{4}$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left. \left( x - \frac{x^4}{4} \right) \right|_{-2}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( -2 - \frac{(-2)^4}{4} \right)$

Выполним вычисления:

$S = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - \left( -2 - \frac{16}{4} \right) = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4}$

Ответ: $\frac{27}{4}$.

2.4. Вычислите площади криволинейных трапеций, изображенных на рисунке 14:

1)

$y = x^2 - 2x + 1$

2)

$y = 2 + 2x - x^2$

3)

$y = x^2$

4)

$y = 3\sin x$

Рис. 14

1)

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_a^b f(x)dx$.

В данном случае функция $f(x) = x^2 - 2x + 1$. Из графика видно, что пределы интегрирования: $a=0$ и $b=1$.

Вычислим определенный интеграл:

$S = \int_0^1 (x^2 - 2x + 1)dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = x^2 - 2x + 1$:

$F(x) = \frac{x^3}{3} - 2\frac{x^2}{2} + x = \frac{x^3}{3} - x^2 + x$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$S = F(1) - F(0) = \left. \left(\frac{x^3}{3} - x^2 + x \right) \right|_0^1 = \left(\frac{1^3}{3} - 1^2 + 1 \right) - \left(\frac{0^3}{3} - 0^2 + 0 \right) = \left(\frac{1}{3} - 1 + 1 \right) - 0 = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

2)

Функция, ограничивающая трапецию сверху: $y = 2 + 2x - x^2$. Пределы интегрирования по оси $Ox$, согласно рисунку, от $a=0$ до $b=2$.

Вычислим площадь с помощью определенного интеграла:

$S = \int_0^2 (2 + 2x - x^2)dx$

Находим первообразную:

$F(x) = 2x + 2\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = 2x + x^2 - \frac{x^3}{3}$

Вычисляем площадь:

$S = F(2) - F(0) = \left. \left(2x + x^2 - \frac{x^3}{3} \right) \right|_0^2 = \left(2 \cdot 2 + 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left(2 \cdot 0 + 0^2 - \frac{0^3}{3} \right) = \left(4 + 4 - \frac{8}{3} \right) - 0 = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24 - 8}{3} = \frac{16}{3}$

Ответ: $\frac{16}{3}$

3)

Фигура ограничена графиком функции $y = \frac{1}{4}x^4$ и прямыми $x=-2$ и $x=2$.

Функция $f(x) = \frac{1}{4}x^4$ является четной, так как $f(-x) = \frac{1}{4}(-x)^4 = \frac{1}{4}x^4 = f(x)$. Интервал интегрирования $[-2, 2]$ симметричен относительно нуля. Поэтому площадь можно вычислить как удвоенную площадь на отрезке $[0, 2]$:

$S = \int_{-2}^2 \frac{1}{4}x^4 dx = 2 \int_0^2 \frac{1}{4}x^4 dx = \frac{1}{2} \int_0^2 x^4 dx$

Находим первообразную для $x^4$:

$F(x) = \frac{x^5}{5}$

Вычисляем площадь:

$S = \frac{1}{2} \left. \left(\frac{x^5}{5} \right) \right|_0^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{2^5}{5} - \frac{0^5}{5} \right) = \frac{1}{2} \left(\frac{32}{5} - 0 \right) = \frac{32}{10} = \frac{16}{5}$

Ответ: $\frac{16}{5}$

4)

Фигура ограничена графиком функции $y = 3\sin x$ и прямыми $x=\frac{\pi}{4}$ и $x=\pi$.

Вычисляем площадь с помощью определенного интеграла:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi} 3\sin x dx$

Находим первообразную для $3\sin x$:

$F(x) = -3\cos x$

Вычисляем площадь:

$S = \left. (-3\cos x) \right|_{\pi/4}^{\pi} = (-3\cos(\pi)) - (-3\cos(\frac{\pi}{4})) = -3(-1) + 3\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $3 + \frac{3\sqrt{2}}{2}$