Номер 2.3, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.3. 1) $y = x^3 + 1,$ $y = 0,$ $x = -1,$ $x = 2;$

2) $y = 1 - x^3,$ $y = 0,$ $x = -2,$ $x = 1.$

1) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^3 + 1$, $y = 0$, $x = -1$ и $x = 2$. Эта фигура является криволинейной трапецией.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции $f(x)$, осью $Ox$ ($y=0$) и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле $S = \int_a^b |f(x)|dx$.

В данном случае $f(x) = x^3 + 1$, $a=-1$, $b=2$. Исследуем знак функции на отрезке $[-1, 2]$. Найдем нули функции: $x^3+1=0 \implies x^3=-1 \implies x=-1$. При $x > -1$, значение $x^3 > -1$, следовательно, $x^3 + 1 > 0$. Таким образом, на всем отрезке интегрирования $[-1, 2]$ функция $y=x^3+1$ является неотрицательной ($y \ge 0$).

Это означает, что модуль можно опустить, и площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-1}^{2} (x^3 + 1) dx$

Для вычисления интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$, найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (x^3 + 1) dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} + x = \frac{x^4}{4} + x$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left. \left( \frac{x^4}{4} + x \right) \right|_{-1}^{2} = \left( \frac{2^4}{4} + 2 \right) - \left( \frac{(-1)^4}{4} + (-1) \right)$

Выполним вычисления:

$S = \left( \frac{16}{4} + 2 \right) - \left( \frac{1}{4} - 1 \right) = (4+2) - \left(-\frac{3}{4}\right) = 6 + \frac{3}{4} = \frac{24}{4} + \frac{3}{4} = \frac{27}{4}$

Ответ: $\frac{27}{4}$.

2) Требуется найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 1 - x^3$, $y = 0$, $x = -2$ и $x = 1$. Эта фигура является криволинейной трапецией.

Площадь вычисляется по формуле $S = \int_a^b |f(x)|dx$.

В данном случае $f(x) = 1 - x^3$, $a=-2$, $b=1$. Исследуем знак функции на отрезке $[-2, 1]$. Найдем нули функции: $1 - x^3 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x=1$. При $x < 1$, значение $x^3 < 1$, следовательно, $1 - x^3 > 0$. Таким образом, на всем отрезке интегрирования $[-2, 1]$ функция $y=1-x^3$ является неотрицательной ($y \ge 0$).

Это означает, что модуль можно опустить, и площадь равна определенному интегралу:

$S = \int_{-2}^{1} (1 - x^3) dx$

Для вычисления интеграла по формуле Ньютона-Лейбница $S = F(b) - F(a)$, найдем первообразную $F(x)$ для подынтегральной функции:

$F(x) = \int (1 - x^3) dx = x - \frac{x^{3+1}}{3+1} = x - \frac{x^4}{4}$

Теперь подставим пределы интегрирования:

$S = \left. \left( x - \frac{x^4}{4} \right) \right|_{-2}^{1} = \left( 1 - \frac{1^4}{4} \right) - \left( -2 - \frac{(-2)^4}{4} \right)$

Выполним вычисления:

$S = \left( 1 - \frac{1}{4} \right) - \left( -2 - \frac{16}{4} \right) = \frac{3}{4} - (-2 - 4) = \frac{3}{4} - (-6) = \frac{3}{4} + 6 = \frac{3}{4} + \frac{24}{4} = \frac{27}{4}$

Ответ: $\frac{27}{4}$.