Номер 1.24, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, удовлетворяющую условию $F(a) = b$ (1.24–1.25):

1.24. 1) $f(x) = \frac{2}{(2x+5)^2}$, $F(-2) = \frac{1}{2}$;

2) $f(x) = \frac{1}{\left(\frac{x}{2}+3\right)^3}$, $F(-4) = 3$.

1)

Для нахождения первообразной $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{2}{(2x+5)^2}$, необходимо вычислить неопределенный интеграл от $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) dx = \int \frac{2}{(2x+5)^2} dx$.

Это табличный интеграл вида $\int \frac{k}{(kx+b)^n} dx$. В нашем случае, можно вынести константу 2 за знак интеграла и использовать замену переменной. Пусть $u = 2x+5$, тогда $du = 2 dx$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{u^2} du = \int u^{-2} du = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, подставив $u = 2x+5$:

$F(x) = -\frac{1}{2x+5} + C$.

Это общий вид первообразной. Чтобы найти конкретную первообразную, удовлетворяющую условию $F(-2) = \frac{1}{2}$, подставим $x = -2$ в полученное выражение:

$F(-2) = -\frac{1}{2(-2)+5} + C = -\frac{1}{-4+5} + C = -\frac{1}{1} + C = -1 + C$.

Согласно условию, $F(-2) = \frac{1}{2}$, поэтому мы можем составить уравнение для нахождения $C$:

$-1 + C = \frac{1}{2}$

$C = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

Подставив найденное значение $C$ в общий вид первообразной, получаем итоговый ответ.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{2x+5} + \frac{3}{2}$.

2)

Найдем первообразную $F(x)$ для функции $f(x) = \frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^3}$ путем интегрирования:

$F(x) = \int \frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^3} dx = \int (\frac{x}{2}+3)^{-3} dx$.

Применим метод замены переменной. Пусть $u = \frac{x}{2}+3$. Тогда $du = \frac{1}{2} dx$, откуда $dx = 2 du$.

Подставим в интеграл:

$F(x) = \int u^{-3} (2 du) = 2 \int u^{-3} du = 2 \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -u^{-2} + C = -\frac{1}{u^2} + C$.

Выполним обратную замену $u = \frac{x}{2}+3$:

$F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + C$.

Это общий вид первообразной. Используем заданное условие $F(-4) = 3$ для определения константы $C$. Подставим $x = -4$:

$F(-4) = -\frac{1}{(\frac{-4}{2}+3)^2} + C = -\frac{1}{(-2+3)^2} + C = -\frac{1}{1^2} + C = -1 + C$.

Из условия $F(-4) = 3$ следует уравнение:

$-1 + C = 3$

$C = 3 + 1 = 4$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{(\frac{x}{2}+3)^2} + 4$.