Номер 1.18, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.18. 1) $ \int 18 \sin 6x dx;$

2) $ \int 27 \cos 9x dx;$

3) $ \int \frac{15}{\cos^2 10x} dx;$

4) $ \int \frac{20}{\sin^2 2,5x} dx.$

1) Для решения данного интеграла вынесем постоянный множитель 18 за знак интеграла и воспользуемся табличной формулой интегрирования $ \int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C $, где $C$ — произвольная постоянная.

$ \int 18 \sin(6x) dx = 18 \int \sin(6x) dx $

В нашем случае коэффициент $ k = 6 $. Подставляем его в формулу:

$ 18 \cdot \left(-\frac{1}{6}\cos(6x)\right) + C = -\frac{18}{6}\cos(6x) + C = -3\cos(6x) + C $.

Ответ: $ -3\cos(6x) + C $.

2) Для нахождения этого интеграла вынесем константу 27 за знак интеграла. Затем используем формулу $ \int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C $.

$ \int 27 \cos(9x) dx = 27 \int \cos(9x) dx $

Здесь коэффициент $ k = 9 $. Применяем формулу:

$ 27 \cdot \left(\frac{1}{9}\sin(9x)\right) + C = \frac{27}{9}\sin(9x) + C = 3\sin(9x) + C $.

Ответ: $ 3\sin(9x) + C $.

3) Вынесем постоянный множитель 15 за знак интеграла. Воспользуемся табличным интегралом $ \int \frac{dx}{\cos^2(kx)} = \frac{1}{k}\tan(kx) + C $.

$ \int \frac{15}{\cos^2(10x)} dx = 15 \int \frac{1}{\cos^2(10x)} dx $

В данном случае коэффициент $ k = 10 $. Подставляем в формулу:

$ 15 \cdot \left(\frac{1}{10}\tan(10x)\right) + C = \frac{15}{10}\tan(10x) + C = 1,5\tan(10x) + C $.

Ответ: $ 1,5\tan(10x) + C $.

4) Выносим константу 20. Используем табличный интеграл $ \int \frac{dx}{\sin^2(kx)} = -\frac{1}{k}\cot(kx) + C $.

$ \int \frac{20}{\sin^2(2,5x)} dx = 20 \int \frac{1}{\sin^2(2,5x)} dx $

Здесь коэффициент $ k = 2,5 $. Применяем формулу:

$ 20 \cdot \left(-\frac{1}{2,5}\cot(2,5x)\right) + C = -\frac{20}{2,5}\cot(2,5x) + C $

Так как $ \frac{20}{2,5} = \frac{200}{25} = 8 $, то получаем:

$ -8\cot(2,5x) + C $.

Ответ: $ -8\cot(2,5x) + C $.