Номер 1.12, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.12. Скорость точки, находящейся в прямолинейном движении, изменяется по закону $v(t) = t + 3t^2$ (время измеряется в секундах, скорость — в м/с). Найдите изменение координаты точки в зависимости от времени.

Скорость точки $v(t)$ является производной ее координаты (пути) $s(t)$ по времени $t$: $v(t) = s'(t)$. Следовательно, чтобы найти функцию, описывающую координату точки в зависимости от времени, необходимо найти первообразную для функции скорости, то есть вычислить неопределенный интеграл.

Закон изменения скорости задан уравнением: $v(t) = t + 3t^2$.

Найдем функцию координаты $s(t)$ путем интегрирования функции скорости $v(t)$ по времени $t$:

$s(t) = \int v(t) dt = \int (t + 3t^2) dt$

Используя свойство линейности интеграла и формулу для интеграла степенной функции $(\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C)$, получаем:

$s(t) = \int t dt + \int 3t^2 dt = \frac{t^{1+1}}{1+1} + 3 \cdot \frac{t^{2+1}}{2+1} + C = \frac{t^2}{2} + 3 \cdot \frac{t^3}{3} + C$

Упростив выражение, получим закон изменения координаты:

$s(t) = \frac{t^2}{2} + t^3 + C$

Здесь $C$ — константа интегрирования, которая соответствует начальной координате точки в момент времени $t=0$, то есть $C = s(0)$.

Изменение координаты точки за время $t$ (или перемещение) — это разность между ее конечной координатой $s(t)$ и начальной координатой $s(0)$. Обозначим это изменение как $\Delta s(t)$:

$\Delta s(t) = s(t) - s(0) = \left(\frac{t^2}{2} + t^3 + C\right) - C = \frac{t^2}{2} + t^3$

Таким образом, изменение координаты точки в зависимости от времени описывается функцией $\Delta s(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.

Ответ: $\Delta s(t) = \frac{t^2}{2} + t^3$.