Номер 1.9, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.9. 1) $\int (x^4 - x^3 + x^2)dx;$

2) $\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx;$

3) $\int (\cos x - 2)dx;$

4) $\int (3 + \sin x)dx.$

1) Для нахождения данного неопределенного интеграла воспользуемся свойством линейности интеграла (интеграл от суммы/разности равен сумме/разности интегралов) и табличной формулой для интеграла от степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

$\int (x^4 - x^3 + x^2)dx = \int x^4 dx - \int x^3 dx + \int x^2 dx = \frac{x^{4+1}}{4+1} - \frac{x^{3+1}}{3+1} + \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная интегрирования.

Ответ: $\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} + C$.

2) Аналогично первому пункту, применяем свойство линейности интеграла и формулу для интегрирования степенной функции.

$\int (4x^3 + 5x^4 + 6x^5)dx = \int 4x^3 dx + \int 5x^4 dx + \int 6x^5 dx = 4\int x^3 dx + 5\int x^4 dx + 6\int x^5 dx$.

Вычисляем каждый интеграл:

$4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} + 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} + 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} + C = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + 5 \cdot \frac{x^5}{5} + 6 \cdot \frac{x^6}{6} + C$.

После сокращения получаем:

$x^4 + x^5 + x^6 + C$.

Ответ: $x^4 + x^5 + x^6 + C$.

3) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы от косинуса и константы: $\int \cos x dx = \sin x + C$ и $\int a dx = ax + C$.

$\int (\cos x - 2)dx = \int \cos x dx - \int 2 dx = \sin x - 2x + C$.

Ответ: $\sin x - 2x + C$.

4) Используем свойство линейности интеграла и табличные интегралы от синуса и константы: $\int \sin x dx = -\cos x + C$ и $\int a dx = ax + C$.

$\int (3 + \sin x)dx = \int 3 dx + \int \sin x dx = 3x + (-\cos x) + C = 3x - \cos x + C$.

Ответ: $3x - \cos x + C$.