Номер 1.5, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Напишите общий вид первообразных для данных функций (1.5–1.7):

1.5. 1) $f(x) = 1 - x;$ 2) $f(x) = 2x - 1;$

3) $f(x) = 3x^2 + 2x - 1;$ 4) $f(x) = 2 - 4x - 3x^2.$

1)

Для нахождения общего вида первообразной функции $f(x) = 1 - x$ необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная функции $F(x)$ — это такая функция, производная которой равна исходной функции $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$.

Общий вид первообразных находится по формуле: $F(x) = \int f(x) dx$.

Применим правила интегрирования:

1. Интеграл от разности функций равен разности интегралов: $\int (g(x) - h(x)) dx = \int g(x) dx - \int h(x) dx$.

2. Формула для степенной функции: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

3. Интеграл от константы: $\int a dx = ax + C$.

Находим первообразную для $f(x) = 1 - x$:

$F(x) = \int (1 - x) dx = \int 1 dx - \int x^1 dx = x - \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = x - \frac{x^2}{2} + C$.

Здесь $C$ — произвольная постоянная (константа интегрирования).

Проверим результат, взяв производную от $F(x)$:

$F'(x) = (x - \frac{x^2}{2} + C)' = (x)' - (\frac{x^2}{2})' + (C)' = 1 - \frac{2x}{2} + 0 = 1 - x = f(x)$.

Производная первообразной совпадает с исходной функцией, следовательно, решение верно.

Ответ: $F(x) = x - \frac{x^2}{2} + C$

2)

Для функции $f(x) = 2x - 1$ находим общий вид первообразной $F(x)$ путем интегрирования:

$F(x) = \int (2x - 1) dx = \int 2x dx - \int 1 dx$.

Используем правило вынесения константы за знак интеграла $\int k \cdot g(x) dx = k \int g(x) dx$ и степенную формулу:

$F(x) = 2 \int x^1 dx - \int 1 dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - x + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^2 - x + C$.

Проверка:

$F'(x) = (x^2 - x + C)' = (x^2)' - (x)' + (C)' = 2x - 1 + 0 = 2x - 1 = f(x)$.

Решение верно.

Ответ: $F(x) = x^2 - x + C$

3)

Для функции $f(x) = 3x^2 + 2x - 1$ находим общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (3x^2 + 2x - 1) dx = \int 3x^2 dx + \int 2x dx - \int 1 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое по отдельности, используя те же правила:

$F(x) = 3 \int x^2 dx + 2 \int x^1 dx - \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - x + C = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x + C = x^3 + x^2 - x + C$.

Проверка:

$F'(x) = (x^3 + x^2 - x + C)' = (x^3)' + (x^2)' - (x)' + (C)' = 3x^2 + 2x - 1 + 0 = 3x^2 + 2x - 1 = f(x)$.

Решение верно.

Ответ: $F(x) = x^3 + x^2 - x + C$

4)

Для функции $f(x) = 2 - 4x - 3x^2$ находим общий вид первообразной $F(x)$:

$F(x) = \int (2 - 4x - 3x^2) dx = \int 2 dx - \int 4x dx - \int 3x^2 dx$.

Интегрируем каждое слагаемое:

$F(x) = 2x - 4 \int x^1 dx - 3 \int x^2 dx = 2x - 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} - 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = 2x - 4 \cdot \frac{x^2}{2} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C = 2x - 2x^2 - x^3 + C$.

Проверка:

$F'(x) = (2x - 2x^2 - x^3 + C)' = (2x)' - (2x^2)' - (x^3)' + (C)' = 2 - 4x - 3x^2 + 0 = 2 - 4x - 3x^2 = f(x)$.

Решение верно.

Ответ: $F(x) = 2x - 2x^2 - x^3 + C$