Номер 1.3, страница 15 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.3. 1) $F(x) = \sqrt{x} + 1,$ $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}, x \in (0; +\infty);$

2) $F(x) = 3 - 2\sqrt{x},$ $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}, x \in (0; +\infty).$

1) Чтобы проверить, является ли функция $F(x)$ первообразной для функции $f(x)$ на заданном промежутке, нужно найти производную функции $F(x)$. Если производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из этого промежутка, то $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Даны функции $F(x) = \sqrt{x} + 1$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{x} + 1)' = (x^{1/2})' + (1)'$

Используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и то, что производная константы равна нулю, получаем:

$F'(x) = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} + 0 = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ и $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$, функция $F(x) = \sqrt{x} + 1$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.

2) Аналогично проверим для функций $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$ и $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ на промежутке $x \in (0; +\infty)$.

Найдем производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (3 - 2\sqrt{x})' = (3)' - (2\sqrt{x})' = (3)' - 2(x^{1/2})'$

Применяем те же правила дифференцирования:

$F'(x) = 0 - 2 \cdot \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = -x^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x}}$

Сравним полученный результат с функцией $f(x)$:

$F'(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ и $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$.

Поскольку $F'(x) = f(x)$ на промежутке $(0; +\infty)$, функция $F(x) = 3 - 2\sqrt{x}$ является первообразной для функции $f(x) = -\frac{1}{\sqrt{x}}$ на этом промежутке.

Ответ: Да, является.