Номер 1.10, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Найдите первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, график которой проходит через точку $M(a; b)$ (1.10—1.11):

1.10. 1) $f(x) = 1 + \frac{x}{2}$, $M(1; 3)$;

2) $f(x) = 2 + 4x$, $M(-1; 1);

3) $f(x) = \cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right)$, $M\left(\frac{\pi}{2}; 1\right);

4) $f(x) = \sin \left(x - \frac{\pi}{4}\right)$, $M\left(\frac{3\pi}{2}; 2\right)$.

1) Первообразная для функции $f(x)$ — это функция $F(x)$, производная которой равна $f(x)$. Общий вид первообразной для $f(x) = 1 + \frac{x}{2}$ находится путем интегрирования:$F(x) = \int (1 + \frac{x}{2}) dx = \int 1 dx + \frac{1}{2} \int x dx = x + \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} + C = x + \frac{x^2}{4} + C$, где $C$ — произвольная постоянная.По условию, график первообразной проходит через точку $M(1; 3)$, что означает, что при $x=1$ значение $F(x)$ равно $3$. Подставим эти значения в уравнение для $F(x)$, чтобы найти $C$:$F(1) = 1 + \frac{1^2}{4} + C = 3$$1 + \frac{1}{4} + C = 3$$\frac{5}{4} + C = 3$$C = 3 - \frac{5}{4} = \frac{12 - 5}{4} = \frac{7}{4}$.Следовательно, искомая первообразная имеет вид: $F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

Ответ: $F(x) = x + \frac{x^2}{4} + \frac{7}{4}$.

2) Для функции $f(x) = 2 + 4x$ найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int (2 + 4x) dx = \int 2 dx + \int 4x dx = 2x + 4 \frac{x^2}{2} + C = 2x + 2x^2 + C$.График проходит через точку $M(-1; 1)$, значит $F(-1) = 1$. Подставим значения:$F(-1) = 2(-1) + 2(-1)^2 + C = 1$$-2 + 2(1) + C = 1$$-2 + 2 + C = 1$$C = 1$.Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = 2x + 2x^2 + 1$.

Ответ: $F(x) = 2x + 2x^2 + 1$.

3) Для функции $f(x) = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int \cos(x - \frac{\pi}{3}) dx = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + C$.График проходит через точку $M(\frac{\pi}{2}; 1)$, значит $F(\frac{\pi}{2}) = 1$. Подставим значения:$F(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3}) + C = 1$$\sin(\frac{3\pi - 2\pi}{6}) + C = 1$$\sin(\frac{\pi}{6}) + C = 1$$\frac{1}{2} + C = 1$$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3}) + \frac{1}{2}$.

4) Для функции $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{4})$ найдем общий вид первообразной:$F(x) = \int \sin(x - \frac{\pi}{4}) dx = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + C$.График проходит через точку $M(\frac{3\pi}{2}; 2)$, значит $F(\frac{3\pi}{2}) = 2$. Подставим значения:$F(\frac{3\pi}{2}) = -\cos(\frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C = 2$$-\cos(\frac{6\pi - \pi}{4}) + C = 2$$-\cos(\frac{5\pi}{4}) + C = 2$.Значение косинуса $\cos(\frac{5\pi}{4}) = \cos(\pi + \frac{\pi}{4}) = -\cos(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.Подставляем это значение в уравнение:$-(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + C = 2$$\frac{\sqrt{2}}{2} + C = 2$$C = 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.Следовательно, искомая первообразная: $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{4}) + 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.