Номер 1.16, страница 16 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.16. 1) $F(x) = \sqrt{4x - 5},$

$f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x - 5}}, x \in \left(\frac{5}{4}; +\infty\right);$

2) $F(x) = \sqrt{5 - 4x},$

$f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5 - 4x}}, x \in \left(-\infty; \frac{5}{4}\right).$

1) Для того чтобы доказать, что функция $F(x) = \sqrt{4x-5}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x - 5}}$ на промежутке $x \in (\frac{5}{4}; +\infty)$, необходимо найти производную функции $F(x)$ и убедиться, что она равна $f(x)$ на указанном промежутке.

Используем правило дифференцирования сложной функции: $( \sqrt{u} )' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

В данном случае $u(x) = 4x-5$, следовательно, $u'(x) = (4x-5)' = 4$.

Находим производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{4x-5})' = \frac{1}{2\sqrt{4x-5}} \cdot (4x-5)' = \frac{1}{2\sqrt{4x-5}} \cdot 4 = \frac{4}{2\sqrt{4x-5}} = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$.

Полученное выражение для $F'(x)$ полностью совпадает с функцией $f(x)$.

Область определения производной $F'(x)$ задается неравенством $4x-5 > 0$, то есть $x > \frac{5}{4}$, что соответствует указанному в условии промежутку $x \in (\frac{5}{4}; +\infty)$.

Ответ: Поскольку производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(\frac{5}{4}; +\infty)$, функция $F(x) = \sqrt{4x-5}$ является первообразной для функции $f(x) = \frac{2}{\sqrt{4x-5}}$ на этом промежутке.

2) Аналогично, докажем, что функция $F(x) = \sqrt{5-4x}$ является первообразной для функции $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5 - 4x}}$ на промежутке $x \in (-\infty; \frac{5}{4})$. Для этого найдем производную функции $F(x)$.

Снова используем правило дифференцирования сложной функции: $( \sqrt{u} )' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u'$.

Здесь $u(x) = 5-4x$, следовательно, $u'(x) = (5-4x)' = -4$.

Находим производную функции $F(x)$:

$F'(x) = (\sqrt{5-4x})' = \frac{1}{2\sqrt{5-4x}} \cdot (5-4x)' = \frac{1}{2\sqrt{5-4x}} \cdot (-4) = \frac{-4}{2\sqrt{5-4x}} = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$.

Полученное выражение для $F'(x)$ полностью совпадает с функцией $f(x)$.

Область определения производной $F'(x)$ задается неравенством $5-4x > 0$, то есть $4x < 5$ или $x < \frac{5}{4}$, что соответствует указанному в условии промежутку $x \in (-\infty; \frac{5}{4})$.

Ответ: Поскольку производная $F'(x)$ равна $f(x)$ для всех $x$ из промежутка $(-\infty; \frac{5}{4})$, функция $F(x) = \sqrt{5-4x}$ является первообразной для функции $f(x) = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$ на этом промежутке.