Номер 1.22, страница 17 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.22. 1) $f(x) = \cos^2 \frac{x}{3} - \sin^2 \frac{x}{3}$;

2) $f(x) = \sin \frac{x}{4} \cdot \cos \frac{x}{4}$;

3) $f(x) = \operatorname{tg} \frac{x}{8} \cdot \operatorname{ctg} \frac{x}{8} + x^2$;

4) $f(x) = 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{6}$.

1) Для упрощения функции $f(x) = \cos^2\frac{x}{3} - \sin^2\frac{x}{3}$ воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{3}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$.

Подставив значение $\alpha$ в формулу, получаем:$f(x) = \cos(2 \cdot \frac{x}{3}) = \cos(\frac{2x}{3})$.

Ответ: $f(x) = \cos(\frac{2x}{3})$.

2) Для упрощения функции $f(x) = \sin\frac{x}{4} \cdot \cos\frac{x}{4}$ воспользуемся формулой синуса двойного угла: $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$.

Из этой формулы следует, что $\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{4}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{4} = \frac{x}{2}$.

Подставив значение $\alpha$ в преобразованную формулу, получаем:$f(x) = \frac{1}{2}\sin(2 \cdot \frac{x}{4}) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

Ответ: $f(x) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2})$.

3) Для функции $f(x) = \text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8} + x^2$ используем основное тригонометрическое тождество $\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha = 1$.

Это тождество справедливо при условии, что $\alpha \neq \frac{\pi k}{2}$, где $k$ - целое число, так как при этих значениях тангенс или котангенс не определены.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{8}$, значит, условие существования выражения $\text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8}$ таково: $\frac{x}{8} \neq \frac{\pi k}{2}$, или $x \neq 4\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

При выполнении этого условия, $\text{tg}\frac{x}{8} \cdot \text{ctg}\frac{x}{8} = 1$.

Таким образом, функция упрощается до $f(x) = 1 + x^2$.

Ответ: $f(x) = 1 + x^2$ при $x \neq 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

4) Для упрощения функции $f(x) = 1 - 2\sin^2\frac{x}{6}$ воспользуемся одной из форм формулы косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$.

В данном случае $\alpha = \frac{x}{6}$, следовательно, $2\alpha = 2 \cdot \frac{x}{6} = \frac{x}{3}$.

Подставив значение $\alpha$ в формулу, получаем:$f(x) = \cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = \cos(\frac{x}{3})$.

Ответ: $f(x) = \cos(\frac{x}{3})$.