Номер 1.25, страница 18 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1.25. 1) $f(x) = \frac{1}{\cos^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{\sin^2\left(3x - \frac{\pi}{6}\right)}$, $F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{8\sqrt{3}}{9}.$

1) Для функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})}$ требуется найти такую первообразную $F(x)$, для которой выполняется условие $F(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Сначала найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$. Для этого вычислим неопределенный интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} dx$.

Используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\cos^2(u)} du = \tan(u) + C$ и метод замены переменной. Пусть $u = 2x - \frac{\pi}{4}$, тогда $du = d(2x - \frac{\pi}{4}) = 2dx$, откуда $dx = \frac{1}{2}du$.

$F(x) = \int \frac{1}{\cos^2(u)} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\cos^2(u)} du = \frac{1}{2} \tan(u) + C$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = \frac{1}{2} \tan(2x - \frac{\pi}{4}) + C$.

Теперь используем заданное условие $F(\frac{\pi}{4}) = 1$, чтобы найти константу $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{4}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2} \tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) + C = \frac{1}{2} \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) + C = \frac{1}{2} \tan(\frac{\pi}{4}) + C$.

Поскольку $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$1 = \frac{1}{2} \cdot 1 + C$,

$1 = \frac{1}{2} + C$,

$C = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = \frac{1}{2} \tan(2x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}$.

Ответ: $F(x) = \frac{1}{2} \tan(2x - \frac{\pi}{4}) + \frac{1}{2}$.

2) Для функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})}$ требуется найти такую первообразную $F(x)$, для которой выполняется условие $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$.

Сначала найдем общий вид первообразных для функции $f(x)$. Для этого вычислим неопределенный интеграл:

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2(3x - \frac{\pi}{6})} dx$.

Используем табличный интеграл $\int \frac{1}{\sin^2(u)} du = -\cot(u) + C$ и метод замены переменной. Пусть $u = 3x - \frac{\pi}{6}$, тогда $du = d(3x - \frac{\pi}{6}) = 3dx$, откуда $dx = \frac{1}{3}du$.

$F(x) = \int \frac{1}{\sin^2(u)} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\sin^2(u)} du = -\frac{1}{3} \cot(u) + C$.

Возвращаясь к исходной переменной $x$, получаем общий вид первообразной:

$F(x) = -\frac{1}{3} \cot(3x - \frac{\pi}{6}) + C$.

Теперь используем заданное условие $F(\frac{\pi}{6}) = \frac{8\sqrt{3}}{9}$, чтобы найти константу $C$. Подставим $x = \frac{\pi}{6}$ в выражение для $F(x)$:

$F(\frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{3} \cot(3 \cdot \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) + C = -\frac{1}{3} \cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) + C = -\frac{1}{3} \cot(\frac{\pi}{3}) + C$.

Поскольку $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, получаем:

$\frac{8\sqrt{3}}{9} = -\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} + C$,

$\frac{8\sqrt{3}}{9} = -\frac{\sqrt{3}}{9} + C$,

$C = \frac{8\sqrt{3}}{9} + \frac{\sqrt{3}}{9} = \frac{9\sqrt{3}}{9} = \sqrt{3}$.

Таким образом, искомая первообразная имеет вид:

$F(x) = -\frac{1}{3} \cot(3x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}$.

Ответ: $F(x) = -\frac{1}{3} \cot(3x - \frac{\pi}{6}) + \sqrt{3}$.