Вопросы, страница 22 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

3. Какой должна быть функция $y = f(x)$ на отрезке $[a; b]$?

1. Чем отличается понятие криволинейной трапеции от понятия трапеции?

Основное различие между этими двумя понятиями заключается в форме их границ.

Трапеция в классической геометрии — это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны. Важно, что все четыре стороны трапеции являются отрезками прямых. Это многоугольник.

Криволинейная трапеция — это плоская фигура, ограниченная тремя отрезками прямых и одной кривой линией. В стандартном случае она ограничена осью абсцисс ($y=0$), двумя вертикальными прямыми ($x=a$ и $x=b$) и графиком непрерывной функции $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$. Таким образом, в отличие от обычной трапеции, у которой верхнее основание является отрезком прямой, у криволинейной трапеции "верхняя" сторона — это кривая.

Ответ: Обычная трапеция — это многоугольник, ограниченный четырьмя отрезками прямых. Криволинейная трапеция ограничена тремя отрезками прямых и одной кривой линией (графиком функции).

2. Можно ли вычислить площадь криволинейной трапеции с помощью известных формул из геометрии?

Нет, в общем случае это невозможно. Формулы из школьного курса геометрии (например, площадь треугольника, прямоугольника, обычной трапеции) предназначены для вычисления площадей фигур, ограниченных исключительно отрезками прямых (многоугольников), или для специфических фигур вроде круга.

Поскольку одна из границ криволинейной трапеции является кривой, заданной произвольной функцией $y=f(x)$, стандартные геометрические формулы неприменимы. Для нахождения ее площади используется метод математического анализа — вычисление определенного интеграла. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для функции $f(x)$.

Ответ: Нет, площадь криволинейной трапеции вычисляется не с помощью стандартных геометрических формул, а с помощью определенного интеграла.

3. Какой должна быть функция y = f(x) на отрезке [a; b]?

Чтобы фигура, ограниченная графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, считалась криволинейной трапецией, и ее площадь можно было корректно вычислить с помощью интеграла, функция $f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна удовлетворять двум основным условиям:

1. Непрерывность. Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на всем отрезке $[a; b]$. Это обеспечивает, что ее график является сплошной линией без разрывов, что необходимо для формирования замкнутой фигуры с четко определенной площадью.

2. Неотрицательность. В классическом определении функция $f(x)$ должна быть неотрицательной на отрезке $[a; b]$, то есть $f(x) \ge 0$ для любого $x \in [a; b]$. Это условие гарантирует, что график функции расположен выше или на оси абсцисс, и вычисленный интеграл будет равен геометрической площади фигуры.

Ответ: Функция $y=f(x)$ на отрезке $[a; b]$ должна быть непрерывной и неотрицательной.