Номер 2.7, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.7. 1) $y = \sin \frac{x}{2}$, $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$, $x = \frac{3\pi}{2}$;

2) $y = \cos 2x$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \frac{\pi}{4}$.

1) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \sin\frac{x}{2}$, $y = 0$ (ось Ox), $x = \frac{\pi}{2}$ и $x = \frac{3\pi}{2}$, используется определенный интеграл.

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

В данном случае, $f(x) = \sin\frac{x}{2}$, $a = \frac{\pi}{2}$, $b = \frac{3\pi}{2}$.

Сначала проверим знак функции $f(x)$ на интервале $[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$.

Когда $x$ изменяется от $\frac{\pi}{2}$ до $\frac{3\pi}{2}$, аргумент функции $\frac{x}{2}$ изменяется от $\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4}$ до $\frac{1}{2} \cdot \frac{3\pi}{2} = \frac{3\pi}{4}$.

На интервале $[\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ (первая и вторая координатные четверти) значение синуса неотрицательно, т.е. $\sin\frac{x}{2} \ge 0$.

Следовательно, модуль можно опустить, и площадь вычисляется как:

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} \sin\frac{x}{2} dx$

Найдем первообразную для функции $\sin\frac{x}{2}$. Используя формулу $\int \sin(kx) dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, получаем:

$\int \sin\frac{x}{2} dx = -\frac{1}{1/2}\cos\frac{x}{2} + C = -2\cos\frac{x}{2} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-2\cos\frac{x}{2}]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}} = \left(-2\cos\frac{3\pi/2}{2}\right) - \left(-2\cos\frac{\pi/2}{2}\right) = -2\cos\frac{3\pi}{4} + 2\cos\frac{\pi}{4}$

Подставим известные значения косинусов $\cos\frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$:

$S = -2\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Ответ: $2\sqrt{2}$.

2) Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos(2x)$, $y = 0$, $x = -\frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{4}$, также используем определенный интеграл.

Формула площади: $S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$.

Здесь $f(x) = \cos(2x)$, $a = -\frac{\pi}{4}$, $b = \frac{\pi}{4}$.

Проверим знак функции $f(x)$ на интервале $[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}]$.

Когда $x$ изменяется от $-\frac{\pi}{4}$ до $\frac{\pi}{4}$, аргумент функции $2x$ изменяется от $2(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2}$ до $2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$.

На интервале $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ (четвертая и первая координатные четверти) значение косинуса неотрицательно, т.е. $\cos(2x) \ge 0$.

Следовательно, модуль можно опустить:

$S = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx$

Так как функция $y = \cos(2x)$ является четной (т.е. $\cos(-2x) = \cos(2x)$), а пределы интегрирования симметричны относительно нуля, мы можем упростить вычисление:

$S = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos(2x) dx$

Найдем первообразную для $\cos(2x)$. Используя формулу $\int \cos(kx) dx = \frac{1}{k}\sin(kx) + C$, получаем:

$\int \cos(2x) dx = \frac{1}{2}\sin(2x) + C$

Вычислим определенный интеграл:

$S = 2 \left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = [\sin(2x)]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \sin\left(2 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - \sin(2 \cdot 0)$

$S = \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1$

Ответ: $1$.