Номер 3.2, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.2. 1) $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx;$

3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx;$

4) $\int_9^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Для этого представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-1/2}$.

Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для $n = -1/2$, получаем: $F(x) = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.

Теперь подставляем в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x}]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $2$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Это табличный интеграл, первообразная для которого равна $F(x) = -\cot x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cot(\frac{\pi}{3})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -\cot(\frac{\pi}{3}) + \cot(\frac{\pi}{4})$.

Зная значения котангенса: $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем и вычисляем: $-\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является табличной: $F(x) = \tan x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0)$.

Значения тангенса: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(0) = 0$.

Подставляем и вычисляем: $1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

4) Вычислим интеграл $\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx$.

Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла: $3 \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ равна $F(x) = 2\sqrt{x}$ (как в пункте 1).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$3 \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 3 \cdot [2\sqrt{x}]_{9}^{16} = 3 \cdot (2\sqrt{16} - 2\sqrt{9})$.

Вычисляем значения корней: $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{9} = 3$.

Подставляем и вычисляем: $3 \cdot (2 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = 3 \cdot (8 - 6) = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.