Номер 3.4, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.4. 1) $\int_{2}^{3}(2x-1)dx;$

2) $\int_{0}^{1}(3x+2)dx;$

3) $\int_{0}^{3}(x^3-2)dx;$

4) $\int_{2}^{4}(3x^2+1)dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{2}^{3} (2x - 1)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 1$. Первообразная $F(x) = \int (2x - 1)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x = x^2 - x$. Теперь подставим пределы интегрирования и вычислим разность значений первообразной: $\int_{2}^{3} (2x - 1)dx = (x^2 - x) \Big|_{2}^{3} = (3^2 - 3) - (2^2 - 2) = (9 - 3) - (4 - 2) = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4

2) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (3x + 2)dx$. Найдем первообразную для $f(x) = 3x + 2$: $F(x) = \int (3x + 2)dx = 3\frac{x^2}{2} + 2x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $(\frac{3x^2}{2} + 2x) \Big|_{0}^{1} = (\frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1) - (\frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0) = (\frac{3}{2} + 2) - 0 = \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: 3.5

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{3} (x^3 - 2)dx$. Первообразная для $f(x) = x^3 - 2$ равна $F(x) = \int (x^3 - 2)dx = \frac{x^4}{4} - 2x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $(\frac{x^4}{4} - 2x) \Big|_{0}^{3} = (\frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3) - (\frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0) = (\frac{81}{4} - 6) - 0 = \frac{81}{4} - \frac{24}{4} = \frac{57}{4} = 14.25$.

Ответ: 14.25

4) Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} (3x^2 + 1)dx$. Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 + 1$: $F(x) = \int (3x^2 + 1)dx = 3\frac{x^3}{3} + x = x^3 + x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $(x^3 + x) \Big|_{2}^{4} = (4^3 + 4) - (2^3 + 2) = (64 + 4) - (8 + 2) = 68 - 10 = 58$.

Ответ: 58