Номер 3.7, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.7. 1) $\int_{0}^{1} (8x^7 + 2)dx;$

2) $\int_{-1}^{0} (3 - 9x^8)dx;$

3) $\int_{-1}^{1} (6x^5 - 4)dx;$

4) $\int_{1}^{2} (7x^6 + 9)dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1}(8x^7 + 2)dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 8x^7 + 2$. Используя основное правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int (8x^7 + 2)dx = 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + 2x = 8 \cdot \frac{x^8}{8} + 2x = x^8 + 2x$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=0$ и $b=1$ в найденную первообразную:

$\int_{0}^{1}(8x^7 + 2)dx = (x^8 + 2x) \Big|_0^1 = F(1) - F(0) = (1^8 + 2 \cdot 1) - (0^8 + 2 \cdot 0) = (1 + 2) - (0 + 0) = 3 - 0 = 3$.

Ответ: 3

2) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0}(3 - 9x^8)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3 - 9x^8$:

$F(x) = \int (3 - 9x^8)dx = 3x - 9 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} = 3x - 9 \cdot \frac{x^9}{9} = 3x - x^9$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=-1$ и $b=0$:

$\int_{-1}^{0}(3 - 9x^8)dx = (3x - x^9) \Big|_{-1}^0 = F(0) - F(-1) = (3 \cdot 0 - 0^9) - (3 \cdot (-1) - (-1)^9) = (0 - 0) - (-3 - (-1)) = 0 - (-3 + 1) = 0 - (-2) = 2$.

Ответ: 2

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1}(6x^5 - 4)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 6x^5 - 4$:

$F(x) = \int (6x^5 - 4)dx = 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} - 4x = 6 \cdot \frac{x^6}{6} - 4x = x^6 - 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=-1$ и $b=1$:

$\int_{-1}^{1}(6x^5 - 4)dx = (x^6 - 4x) \Big|_{-1}^1 = F(1) - F(-1) = (1^6 - 4 \cdot 1) - ((-1)^6 - 4 \cdot (-1)) = (1 - 4) - (1 + 4) = -3 - 5 = -8$.

Ответ: -8

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2}(7x^6 + 9)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 7x^6 + 9$:

$F(x) = \int (7x^6 + 9)dx = 7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} + 9x = 7 \cdot \frac{x^7}{7} + 9x = x^7 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=1$ и $b=2$:

$\int_{1}^{2}(7x^6 + 9)dx = (x^7 + 9x) \Big|_1^2 = F(2) - F(1) = (2^7 + 9 \cdot 2) - (1^7 + 9 \cdot 1) = (128 + 18) - (1 + 9) = 146 - 10 = 136$.

Ответ: 136