Номер 3.14, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите (3.14—3.19):

3.14. 1) $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x + 1)^3 dx;$

2) $\int_{-2}^{0} \left(3 - \frac{x}{2}\right)^2 dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx;$

4) $\int_{-4}^{0} \left(5 + \frac{x}{4}\right)^2 dx.$

3.14. 1) Чтобы вычислить определенный интеграл $ \int_{1/2}^{3/2} (2x + 1)^3 dx $, воспользуемся методом замены переменной. Пусть $ u = 2x + 1 $. Тогда $ du = 2 dx $, откуда $ dx = \frac{1}{2} du $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = 1/2 $, $ u = 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 + 1 = 2 $;

при $ x = 3/2 $, $ u = 2(\frac{3}{2}) + 1 = 3 + 1 = 4 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{1/2}^{3/2} (2x + 1)^3 dx = \int_{2}^{4} u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} u^3 du $.

Теперь находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{8} [u^4]_{2}^{4} = \frac{1}{8} (4^4 - 2^4) = \frac{1}{8} (256 - 16) = \frac{240}{8} = 30 $.

Ответ: $30$.

3.14. 2) Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{0} (3 - \frac{x}{2})^2 dx $, сначала раскроем квадрат подынтегральной функции по формуле квадрата разности:

$ (3 - \frac{x}{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 = 9 - 3x + \frac{x^2}{4} $.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int_{-2}^{0} (9 - 3x + \frac{x^2}{4}) dx = \left[ 9x - 3\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = \left[ 9x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{12} \right]_{-2}^{0} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя пределы интегрирования:

$ (9 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0^2 + \frac{0^3}{12}) - (9(-2) - \frac{3}{2}(-2)^2 + \frac{(-2)^3}{12}) = 0 - (-18 - \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{8}{12}) = -(-18 - 6 - \frac{2}{3}) = -(-24 - \frac{2}{3}) = 24 + \frac{2}{3} = \frac{72+2}{3} = \frac{74}{3} $.

Ответ: $\frac{74}{3}$.

3.14. 3) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1/3} (3x - 2)^3 dx $.

Для нахождения первообразной воспользуемся формулой $ \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C $.

Первообразная для $ (3x - 2)^3 $ равна:

$ \frac{(3x - 2)^{3+1}}{3 \cdot (3+1)} = \frac{(3x - 2)^4}{12} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{(3x - 2)^4}{12} \right]_{0}^{1/3} = \frac{(3 \cdot \frac{1}{3} - 2)^4}{12} - \frac{(3 \cdot 0 - 2)^4}{12} = \frac{(1 - 2)^4}{12} - \frac{(-2)^4}{12} = \frac{(-1)^4}{12} - \frac{16}{12} = \frac{1}{12} - \frac{16}{12} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} $.

Ответ: $-\frac{5}{4}$.

3.14. 4) Вычислим интеграл $ \int_{-4}^{0} (5 + \frac{x}{4})^2 dx $.

Применим метод замены переменной. Пусть $ u = 5 + \frac{x}{4} $. Тогда $ du = \frac{1}{4} dx $, откуда $ dx = 4 du $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = -4 $, $ u = 5 + \frac{-4}{4} = 5 - 1 = 4 $;

при $ x = 0 $, $ u = 5 + \frac{0}{4} = 5 $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{4}^{5} u^2 \cdot 4 du = 4 \int_{4}^{5} u^2 du $.

Находим первообразную и вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:

$ 4 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{4}^{5} = \frac{4}{3} [u^3]_{4}^{5} = \frac{4}{3} (5^3 - 4^3) = \frac{4}{3} (125 - 64) = \frac{4}{3} \cdot 61 = \frac{244}{3} $.

Ответ: $\frac{244}{3}$.