Номер 3.16, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.16. 1) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos^2 \frac{x}{2} dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^2 \frac{x}{2} dx;$

3) $\int_{0}^{\pi} 3\cos^2 2x dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{8}} \sin^2 4x dx.$

1)

Для вычисления данного определенного интеграла воспользуемся формулой понижения степени для косинуса: $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, следовательно, $2\alpha = x$.

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^2\frac{x}{2}dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \cos(x)}{2}dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{2}} (1 + \cos(x))dx$

Найдем первообразную для подынтегральной функции. Первообразная для $1$ равна $x$, а для $\cos(x)$ равна $\sin(x)$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x + \sin(x)]_0^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} ((\frac{\pi}{2} + \sin(\frac{\pi}{2})) - (0 + \sin(0)))$

Так как $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{1}{2} ((\frac{\pi}{2} + 1) - (0 + 0)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} + 1) = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$

2)

Для вычисления этого интеграла используем формулу понижения степени для синуса: $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь, как и в предыдущем примере, $\alpha = \frac{x}{2}$, значит $2\alpha = x$.

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \sin^2\frac{x}{2}dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{1 - \cos(x)}{2}dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$ за знак интеграла:

$\frac{1}{2} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \cos(x))dx$

Первообразная для $1 - \cos(x)$ равна $x - \sin(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{2} [x - \sin(x)]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = \frac{1}{2} ((0 - \sin(0)) - (-\frac{\pi}{2} - \sin(-\frac{\pi}{2})))$

Так как $\sin(0) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$, получаем:

$\frac{1}{2} ((0 - 0) - (-\frac{\pi}{2} - (-1))) = \frac{1}{2} (0 - (-\frac{\pi}{2} + 1)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 1) = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$

3)

Сначала вынесем константу 3 за знак интеграла, затем применим формулу понижения степени $\cos^2(\alpha) = \frac{1 + \cos(2\alpha)}{2}$.

В этом случае $\alpha = 2x$, следовательно, $2\alpha = 4x$.

$3 \int_0^{\pi} \cos^2(2x)dx = 3 \int_0^{\pi} \frac{1 + \cos(4x)}{2}dx$

Вынесем константу $\frac{1}{2}$:

$\frac{3}{2} \int_0^{\pi} (1 + \cos(4x))dx$

Найдем первообразную для $1 + \cos(4x)$. Она равна $x + \frac{\sin(4x)}{4}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{3}{2} [x + \frac{\sin(4x)}{4}]_0^{\pi} = \frac{3}{2} ((\pi + \frac{\sin(4\pi)}{4}) - (0 + \frac{\sin(0)}{4}))$

Так как $\sin(4\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{3}{2} ((\pi + 0) - (0 + 0)) = \frac{3\pi}{2}$

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$

4)

Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла и воспользуемся формулой понижения степени для синуса $\sin^2(\alpha) = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.

Здесь $\alpha = 4x$, значит $2\alpha = 8x$.

$\frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \sin^2(4x)dx = \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{8}} \frac{1 - \cos(8x)}{2}dx$

Объединим константы:

$\frac{1}{8} \int_0^{\frac{\pi}{8}} (1 - \cos(8x))dx$

Первообразная для $1 - \cos(8x)$ равна $x - \frac{\sin(8x)}{8}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\frac{1}{8} [x - \frac{\sin(8x)}{8}]_0^{\frac{\pi}{8}} = \frac{1}{8} ((\frac{\pi}{8} - \frac{\sin(8 \cdot \frac{\pi}{8})}{8}) - (0 - \frac{\sin(8 \cdot 0)}{8}))$

$\frac{1}{8} ((\frac{\pi}{8} - \frac{\sin(\pi)}{8}) - (0 - \frac{\sin(0)}{8}))$

Так как $\sin(\pi) = 0$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\frac{1}{8} ((\frac{\pi}{8} - 0) - (0 - 0)) = \frac{1}{8} \cdot \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{64}$

Ответ: $\frac{\pi}{64}$