Номер 3.10, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.10. 1) $\int_{1}^{4} \left(2x + \frac{3}{\sqrt{x}}\right) dx;

2) $\int_{4}^{9} \left(6 - \frac{5}{\sqrt{x}}\right) dx;

3) $\int_{-5}^{0} \left(\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5\right) dx;

4) $\int_{0}^{8} \left(7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}\right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для подынтегральной функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 2x + \frac{3}{\sqrt{x}}$. Представим ее в виде $f(x) = 2x + 3x^{-1/2}$.

Интегрируя, получаем:

$F(x) = \int (2x + 3x^{-1/2}) dx = \int 2x dx + \int 3x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^2 + 6\sqrt{x} + C$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от 1 до 4:

$\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = (x^2 + 6\sqrt{x}) \Big|_{1}^{4} = (4^2 + 6\sqrt{4}) - (1^2 + 6\sqrt{1}) = (16 + 6 \cdot 2) - (1 + 6 \cdot 1) = (16 + 12) - 7 = 28 - 7 = 21$.

Ответ: 21

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 6 - \frac{5}{\sqrt{x}} = 6 - 5x^{-1/2}$.

Найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (6 - 5x^{-1/2}) dx = \int 6 dx - \int 5x^{-1/2} dx = 6x - 5 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 6x - 5 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 6x - 10\sqrt{x} + C$.

Подставим пределы интегрирования в первообразную по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx = (6x - 10\sqrt{x}) \Big|_{4}^{9} = (6 \cdot 9 - 10\sqrt{9}) - (6 \cdot 4 - 10\sqrt{4}) = (54 - 10 \cdot 3) - (24 - 10 \cdot 2) = (54 - 30) - (24 - 20) = 24 - 4 = 20$.

Ответ: 20

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5 = 4(x+9)^{-1/2} + 5$.

Найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (4(x+9)^{-1/2} + 5) dx = \int 4(x+9)^{-1/2} dx + \int 5 dx = 4 \cdot \frac{(x+9)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + 5x + C = 4 \cdot \frac{(x+9)^{1/2}}{1/2} + 5x + C = 8\sqrt{x+9} + 5x + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx = (8\sqrt{x+9} + 5x) \Big|_{-5}^{0} = (8\sqrt{0+9} + 5 \cdot 0) - (8\sqrt{-5+9} + 5(-5)) = (8\sqrt{9}) - (8\sqrt{4} - 25) = (8 \cdot 3) - (8 \cdot 2 - 25) = 24 - (16 - 25) = 24 - (-9) = 24 + 9 = 33$.

Ответ: 33

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}} = 7 - 5(1+x)^{-1/2}$.

Найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (7 - 5(1+x)^{-1/2}) dx = \int 7 dx - \int 5(1+x)^{-1/2} dx = 7x - 5 \cdot \frac{(1+x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 7x - 5 \cdot \frac{(1+x)^{1/2}}{1/2} + C = 7x - 10\sqrt{1+x} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx = (7x - 10\sqrt{1+x}) \Big|_{0}^{8} = (7 \cdot 8 - 10\sqrt{1+8}) - (7 \cdot 0 - 10\sqrt{1+0}) = (56 - 10\sqrt{9}) - (0 - 10\sqrt{1}) = (56 - 10 \cdot 3) - (-10) = (56 - 30) + 10 = 26 + 10 = 36$.

Ответ: 36