Номер 3.5, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.5. 1) $\int_{1}^{2} (2x - x^2)dx;$

2) $\int_{0}^{2} (2x + x^2)dx;$

3) $\int_{0}^{1} (1 + x^4)dx;$

4) $\int_{-1}^{0} (1 - x^5)dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_1^2 (2x - x^2) dx $ используется формула Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x - x^2 $.

$ F(x) = \int (2x - x^2) dx = \int 2x dx - \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$ \int_1^2 (2x - x^2) dx = (x^2 - \frac{x^3}{3}) \Big|_1^2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (1^2 - \frac{1^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{12-8}{3} - \frac{3-1}{3} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

2) Вычислим определенный интеграл $ \int_0^2 (2x + x^2) dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 2x + x^2 $:

$ F(x) = \int (2x + x^2) dx = x^2 + \frac{x^3}{3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_0^2 (2x + x^2) dx = (x^2 + \frac{x^3}{3}) \Big|_0^2 = (2^2 + \frac{2^3}{3}) - (0^2 + \frac{0^3}{3}) = (4 + \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12+8}{3} = \frac{20}{3} $.

Ответ: $ \frac{20}{3} $.

3) Вычислим определенный интеграл $ \int_0^1 (1 + x^4) dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 1 + x^4 $:

$ F(x) = \int (1 + x^4) dx = x + \frac{x^5}{5} $.

Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_0^1 (1 + x^4) dx = (x + \frac{x^5}{5}) \Big|_0^1 = (1 + \frac{1^5}{5}) - (0 + \frac{0^5}{5}) = 1 + \frac{1}{5} - 0 = \frac{6}{5} $.

Ответ: $ \frac{6}{5} $.

4) Вычислим определенный интеграл $ \int_{-1}^0 (1 - x^5) dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = 1 - x^5 $ равна:

$ F(x) = \int (1 - x^5) dx = x - \frac{x^6}{6} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^0 (1 - x^5) dx = (x - \frac{x^6}{6}) \Big|_{-1}^0 = (0 - \frac{0^6}{6}) - (-1 - \frac{(-1)^6}{6}) = 0 - (-1 - \frac{1}{6}) = -(-\frac{7}{6}) = \frac{7}{6} $.

Ответ: $ \frac{7}{6} $.