Номер 3.11, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Докажите справедливость равенств (3.11–3.12):

3.11. 1) $\int_{1}^{2} 3x^2 dx = \int_{0}^{1} 14x dx;$

2) $\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{3} dx.$

3.11. 1)

Чтобы доказать справедливость равенства, необходимо вычислить значение левой и правой частей по отдельности и убедиться, что они равны.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx$

Используем формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Первообразная для функции $3x^2$ равна $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\left[ x^3 \right]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_{0}^{1} 14x dx$

Первообразная для функции $14x$ равна $14 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 14 \cdot \frac{x^2}{2} = 7x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ 7x^2 \right]_{0}^{1} = 7 \cdot 1^2 - 7 \cdot 0^2 = 7 - 0 = 7$.

Поскольку обе части равенства равны $7$, то равенство справедливо.

Ответ: $7 = 7$, равенство доказано.

2)

Аналогично предыдущему пункту, вычислим оба интеграла и сравним их значения.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}} dx$

Первообразная для функции $x^{-\frac{1}{2}}$ равна $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_{1}^{3} dx = \int_{1}^{3} 1 \cdot dx$

Первообразная для константы $1$ равна $x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ x \right]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$.

Поскольку обе части равенства равны $2$, то равенство справедливо.

Ответ: $2 = 2$, равенство доказано.