Номер 3.18, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.18. 1) $\int_{\pi/8}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2\left(2x - \frac{\pi}{4}\right)};$

2) $\int_{2\pi/3}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}\right)};$

3) $\int_{\pi/3}^{\pi} \cos\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) \cdot \sin\left(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}\right) dx;$

4) $\int_{0}^{\pi} \left(1 - 2\cos^2\frac{x}{6}\right) dx.$

1) Для вычисления данного интеграла $ \int_{\pi/8}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} $ воспользуемся методом подстановки (замены переменной). Первообразная для функции $ \frac{1}{\cos^2(kx+b)} $ равна $ \frac{1}{k}\tan(kx+b) $.

В нашем случае $ k=2 $ и $ b = -\frac{\pi}{4} $.

Следовательно, первообразная $ F(x) = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{\pi/8}^{\pi/4} \frac{dx}{\cos^2(2x - \frac{\pi}{4})} = \frac{1}{2}\tan(2x - \frac{\pi}{4}) \Big|_{\pi/8}^{\pi/4} = \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(2 \cdot \frac{\pi}{8} - \frac{\pi}{4}) $

$ = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}\tan(\frac{\pi}{4}) - \frac{1}{2}\tan(0) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

2) Вычислим интеграл $ \int_{2\pi/3}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})} $.

Первообразная для функции $ \frac{1}{\sin^2(kx+b)} $ равна $ -\frac{1}{k}\cot(kx+b) $.

В данном случае $ k = \frac{1}{2} $ и $ b = -\frac{\pi}{6} $.

Таким образом, первообразная $ F(x) = -\frac{1}{1/2}\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) = -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{2\pi/3}^{\pi} \frac{dx}{\sin^2(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})} = -2\cot(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) \Big|_{2\pi/3}^{\pi} = -2\cot(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - (-2\cot(\frac{1}{2}\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{6})) $

$ = -2\cot(\frac{3\pi-\pi}{6}) + 2\cot(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = -2\cot(\frac{2\pi}{6}) + 2\cot(\frac{2\pi-\pi}{6}) = -2\cot(\frac{\pi}{3}) + 2\cot(\frac{\pi}{6}) $

$ = -2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \cdot 3 - 2}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} $.

Ответ: $ \frac{4\sqrt{3}}{3} $

3) Для вычисления интеграла $ \int_{\pi/3}^{\pi} \cos(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) \cdot \sin(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12}) dx $ используем формулу синуса двойного угла: $ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) $, из которой следует $ \sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha) $.

Пусть $ \alpha = \frac{x}{4} - \frac{\pi}{12} $. Тогда подынтегральное выражение преобразуется к виду:

$ \frac{1}{2}\sin(2(\frac{x}{4} - \frac{\pi}{12})) = \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.

Интеграл становится: $ \int_{\pi/3}^{\pi} \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx $.

Первообразная для $ \sin(kx+b) $ есть $ -\frac{1}{k}\cos(kx+b) $. Здесь $ k=\frac{1}{2} $.

$ \int \frac{1}{2}\sin(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) dx = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{1/2}\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})) = -\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6}) $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [-\cos(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{6})] \Big|_{\pi/3}^{\pi} = -\cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6}) - (-\cos(\frac{1}{2}\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6})) = -\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{6}) $

$ = -\frac{1}{2} + \cos(0) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

4) Рассмотрим интеграл $ \int_{0}^{\pi} (1 - 2\cos^2\frac{x}{6}) dx $.

Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1 $. Отсюда $ 1 - 2\cos^2\alpha = -\cos(2\alpha) $.

Пусть $ \alpha = \frac{x}{6} $. Тогда подынтегральное выражение равно $ -\cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = -\cos(\frac{x}{3}) $.

Интеграл принимает вид: $ \int_{0}^{\pi} -\cos(\frac{x}{3}) dx $.

Находим первообразную: $ \int -\cos(\frac{x}{3}) dx = -\frac{1}{1/3}\sin(\frac{x}{3}) = -3\sin(\frac{x}{3}) $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ [-3\sin(\frac{x}{3})] \Big|_{0}^{\pi} = -3\sin(\frac{\pi}{3}) - (-3\sin(\frac{0}{3})) = -3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - (-3 \cdot 0) = -\frac{3\sqrt{3}}{2} $.

Ответ: $ -\frac{3\sqrt{3}}{2} $