Номер 3.20, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

При каких значениях x выполняются равенства (3.20–3.21):

3.20. 1) $ \int_{0}^{x} (5 - 2t)dt = 4; $

2) $ \int_{0}^{x} (8 - 2t)dt = 12. $

1) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $\int_{0}^{x}(5 - 2t)dt = 4$, необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Найдем одну из первообразных для подынтегральной функции $f(t) = 5 - 2t$:

$F(t) = \int(5 - 2t)dt = 5t - t^2$.

Далее, применяем формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b}f(t)dt = F(b) - F(a)$:

$\int_{0}^{x}(5 - 2t)dt = (5t - t^2)\Big|_{0}^{x} = (5x - x^2) - (5 \cdot 0 - 0^2) = 5x - x^2$.

Теперь приравняем полученное выражение к 4, согласно условию задачи:

$5x - x^2 = 4$.

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 - 5x + 4 = 0$.

Для нахождения корней этого уравнения можно воспользоваться теоремой Виета (сумма корней равна 5, произведение равно 4), что дает корни $x_1=1$ и $x_2=4$.

В качестве альтернативы решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}$.

$x_1 = \frac{5 - 3}{2} = 1$;

$x_2 = \frac{5 + 3}{2} = 4$.

Следовательно, равенство выполняется при двух значениях $x$.

Ответ: $x=1, x=4$.

2) Чтобы найти значения $x$, при которых выполняется равенство $\int_{0}^{x}(8 - 2t)dt = 12$, поступим аналогично.

Вычислим определенный интеграл. Найдем одну из первообразных для $f(t) = 8 - 2t$:

$F(t) = \int(8 - 2t)dt = 8t - t^2$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{x}(8 - 2t)dt = (8t - t^2)\Big|_{0}^{x} = (8x - x^2) - (8 \cdot 0 - 0^2) = 8x - x^2$.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$8x - x^2 = 12$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$x^2 - 8x + 12 = 0$.

Найдем корни этого уравнения. По теореме Виета, сумма корней равна 8, а их произведение равно 12. Корнями являются $x_1=2$ и $x_2=6$.

Либо решим через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 64 - 48 = 16$.

Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$.

$x_1 = \frac{8 - 4}{2} = 2$;

$x_2 = \frac{8 + 4}{2} = 6$.

Следовательно, равенство выполняется при двух значениях $x$.

Ответ: $x=2, x=6$.