Номер 4.2, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.2. 1) $y = (x + 1)^2, y = 1;$

2) $y = x^3, y = x, x = 0, x = 1;$

3) $y = x^2 + 1, y = 5;$

4) $y = 3 - x^2, y = 2;$

5) $y = -x^2 + 4, y = 0;$

6) $y = x^3 + 1, y = 1, x = 1.$

1) Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y=(x+1)^2$ и $y=1$, сначала найдем точки их пересечения, которые будут пределами интегрирования. Приравняем уравнения: $(x+1)^2 = 1$ $x+1 = \pm\sqrt{1}$ $x+1 = 1$ или $x+1 = -1$ $x_1 = 0$, $x_2 = -2$. Таким образом, пределы интегрирования от $a = -2$ до $b = 0$. На интервале $(-2, 0)$ необходимо определить, какая из функций больше. Возьмем тестовую точку, например, $x=-1$. Для $y=(x+1)^2$: $y = (-1+1)^2 = 0$. Для $y=1$: $y=1$. Поскольку $1 > 0$, на всем интервале $[-2, 0]$ прямая $y=1$ находится выше параболы $y=(x+1)^2$. Площадь $S$ вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций: $S = \int_{-2}^{0} (1 - (x+1)^2) dx = \int_{-2}^{0} (1 - (x^2 + 2x + 1)) dx = \int_{-2}^{0} (-x^2 - 2x) dx$. Вычислим определенный интеграл: $S = \left[-\frac{x^3}{3} - x^2\right]_{-2}^{0} = \left(-\frac{0^3}{3} - 0^2\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - (-2)^2\right) = 0 - \left(-\frac{-8}{3} - 4\right) = 0 - \left(\frac{8}{3} - \frac{12}{3}\right) = -\left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$. Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

2) Фигура ограничена кривыми $y = x^3$, $y = x$ и вертикальными прямыми $x=0$, $x=1$. Пределы интегрирования заданы: от $a = 0$ до $b = 1$. На интервале $(0, 1)$ определим, какая из функций принимает большие значения. Возьмем тестовую точку $x=0.5$. Для $y=x^3$: $y = (0.5)^3 = 0.125$. Для $y=x$: $y = 0.5$. Так как $0.5 > 0.125$, на отрезке $[0, 1]$ прямая $y=x$ расположена выше кривой $y=x^3$. Площадь фигуры $S$ вычисляется по формуле: $S = \int_{0}^{1} (x - x^3) dx$. Вычислим интеграл: $S = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \left(\frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4}\right) - \left(\frac{0^2}{2} - \frac{0^4}{4}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$. Ответ: $S = \frac{1}{4}$.

3) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 1$ и $y = 5$, найдем их точки пересечения: $x^2 + 1 = 5$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$. Пределы интегрирования: от $a = -2$ до $b = 2$. На интервале $(-2, 2)$ прямая $y=5$ находится выше параболы $y=x^2+1$, так как, например, при $x=0$, $y=0^2+1=1$, что меньше 5. Площадь фигуры $S$ равна: $S = \int_{-2}^{2} (5 - (x^2 + 1)) dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$. Вычислим интеграл: $S = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 - \frac{-8}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3} = 16 - \frac{16}{3} = \frac{48-16}{3} = \frac{32}{3}$. Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

4) Найдем пределы интегрирования для фигуры, ограниченной линиями $y = 3 - x^2$ и $y = 2$. $3 - x^2 = 2$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$. Пределы интегрирования: от $a = -1$ до $b = 1$. На интервале $(-1, 1)$ парабола $y=3-x^2$ находится выше прямой $y=2$. Например, при $x=0$, $y=3-0^2=3$, что больше 2. Площадь фигуры $S$ вычисляется как: $S = \int_{-1}^{1} ((3 - x^2) - 2) dx = \int_{-1}^{1} (1 - x^2) dx$. Вычислим интеграл: $S = \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(1 - \frac{1^3}{3}\right) - \left(-1 - \frac{(-1)^3}{3}\right) = \left(1 - \frac{1}{3}\right) - \left(-1 + \frac{1}{3}\right) = \frac{2}{3} - \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$. Ответ: $S = \frac{4}{3}$.

5) Фигура ограничена параболой $y = -x^2 + 4$ и прямой $y=0$ (ось абсцисс). Найдем точки пересечения: $-x^2 + 4 = 0$ $x^2 = 4$ $x = \pm 2$. Пределы интегрирования: от $a = -2$ до $b = 2$. На интервале $(-2, 2)$ парабола $y = -x^2 + 4$ находится выше оси $Ox$, так как ее ветви направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 4)$. Площадь фигуры $S$ равна: $S = \int_{-2}^{2} (-x^2 + 4 - 0) dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$. Интеграл аналогичен задаче 3): $S = \left[4x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} = \left(4(2) - \frac{2^3}{3}\right) - \left(4(-2) - \frac{(-2)^3}{3}\right) = \left(8 - \frac{8}{3}\right) - \left(-8 + \frac{8}{3}\right) = 16 - \frac{16}{3} = \frac{32}{3}$. Ответ: $S = \frac{32}{3}$.

6) Фигура ограничена кривой $y = x^3 + 1$, прямой $y=1$ и прямой $x=1$. Найдем левую границу интегрирования, найдя точку пересечения кривой $y = x^3 + 1$ и прямой $y=1$: $x^3 + 1 = 1$ $x^3 = 0$ $x = 0$. Пределы интегрирования: от $a = 0$ до $b = 1$. На интервале $(0, 1)$ кривая $y=x^3+1$ находится выше прямой $y=1$. Например, при $x=0.5$, $y=(0.5)^3+1=1.125$, что больше 1. Площадь фигуры $S$ вычисляется как: $S = \int_{0}^{1} ((x^3 + 1) - 1) dx = \int_{0}^{1} x^3 dx$. Вычислим интеграл: $S = \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4}$. Ответ: $S = \frac{1}{4}$.