Номер 3.21, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.21. 1) $\int_{0}^{x} (3 - 2t)dt = 4 - 2x;$

2) $\int_{0}^{x} (1 - 4t)dt = 12 - 9x?$

1) Чтобы решить уравнение $ \int_{0}^{x} (3 - 2t) dt = 4 - 2x $, необходимо сначала вычислить определенный интеграл в левой части.

Находим первообразную для подынтегральной функции $ f(t) = 3 - 2t $:

$ F(t) = \int (3 - 2t) dt = 3t - 2\frac{t^2}{2} = 3t - t^2 $.

Далее, используя формулу Ньютона-Лейбница, вычисляем значение определенного интеграла:

$ \int_{0}^{x} (3 - 2t) dt = [3t - t^2]_{0}^{x} = (3x - x^2) - (3 \cdot 0 - 0^2) = 3x - x^2 $.

Теперь подставляем полученное выражение в исходное уравнение:

$ 3x - x^2 = 4 - 2x $.

Переносим все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$ x^2 - 3x - 2x + 4 = 0 $

$ x^2 - 5x + 4 = 0 $.

Решаем полученное квадратное уравнение. Это можно сделать с помощью дискриминанта или по теореме Виета. Корнями являются числа, сумма которых равна 5, а произведение равно 4. Это числа 1 и 4.

Проверка через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 = 3^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 $.

$ x_2 = \frac{5 + 3}{2} = \frac{8}{2} = 4 $.

Ответ: $x=1, x=4$.

2) Решим уравнение $ \int_{0}^{x} (1 - 4t) dt = 12 - 9x $.

Действуем аналогично первому заданию. Сначала вычисляем интеграл.

Первообразная для функции $ f(t) = 1 - 4t $:

$ F(t) = \int (1 - 4t) dt = t - 4\frac{t^2}{2} = t - 2t^2 $.

Вычисляем определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{x} (1 - 4t) dt = [t - 2t^2]_{0}^{x} = (x - 2x^2) - (0 - 2 \cdot 0^2) = x - 2x^2 $.

Подставляем результат в исходное уравнение:

$ x - 2x^2 = 12 - 9x $.

Приводим уравнение к стандартному квадратному виду:

$ 2x^2 - x - 9x + 12 = 0 $

$ 2x^2 - 10x + 12 = 0 $.

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $.

Решим это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Этим условиям удовлетворяют числа 2 и 3.

Проверка через дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 = 1^2 $.

$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 1}{2} $.

$ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 $.

$ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 $.

Ответ: $x=2, x=3$.