Номер 3.15, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.15. 1) $\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2};$

2) $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2};$

3) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0,5x+1)^4};$

4) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0,2x)^5}.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} = (x-2)^{-2}$.

$F(x) = \int (x-2)^{-2} dx = \frac{(x-2)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{(x-2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-2}$.

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:

$\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2} = \left. -\frac{1}{x-2} \right|_{3}^{4} = \left(-\frac{1}{4-2}\right) - \left(-\frac{1}{3-2}\right) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2}$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(x+3)^2} = (x+3)^{-2}$.

$F(x) = \int (x+3)^{-2} dx = \frac{(x+3)^{-2+1}}{-2+1} = -\frac{1}{x+3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2} = \left. -\frac{1}{x+3} \right|_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{-1+3}\right) - \left(-\frac{1}{-2+3}\right) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0.5x+1)^4}$.

Найдем первообразную для $f(x) = (0.5x+1)^{-4}$. Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $a = 0.5$, $b=1$, $n=-4$.

$F(x) = \frac{1}{0.5} \frac{(0.5x+1)^{-4+1}}{-4+1} = 2 \cdot \frac{(0.5x+1)^{-3}}{-3} = -\frac{2}{3(0.5x+1)^3}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0.5x+1)^4} = \left. -\frac{2}{3(0.5x+1)^3} \right|_{0}^{2} = \left(-\frac{2}{3(0.5 \cdot 2+1)^3}\right) - \left(-\frac{2}{3(0.5 \cdot 0+1)^3}\right)$

$= \left(-\frac{2}{3(1+1)^3}\right) - \left(-\frac{2}{3(1)^3}\right) = -\frac{2}{3 \cdot 2^3} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{24} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0.2x)^5}$.

Найдем первообразную для $f(x) = (2-0.2x)^{-5}$.

Здесь $a = -0.2$, $b=2$, $n=-5$.

$F(x) = \frac{1}{-0.2} \frac{(2-0.2x)^{-5+1}}{-5+1} = -5 \cdot \frac{(2-0.2x)^{-4}}{-4} = \frac{5}{4(2-0.2x)^4}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0.2x)^5} = \left. \frac{5}{4(2-0.2x)^4} \right|_{0}^{5} = \left(\frac{5}{4(2-0.2 \cdot 5)^4}\right) - \left(\frac{5}{4(2-0.2 \cdot 0)^4}\right)$

$= \left(\frac{5}{4(2-1)^4}\right) - \left(\frac{5}{4(2)^4}\right) = \frac{5}{4 \cdot 1^4} - \frac{5}{4 \cdot 16} = \frac{5}{4} - \frac{5}{64} = \frac{80}{64} - \frac{5}{64} = \frac{75}{64}$.

Ответ: $\frac{75}{64}$