Номер 3.8, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.8. 1) $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x)dx; $

2) $ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x)dx; $

3) $ \int_{0}^{\pi} \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}\right)dx $

4) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \left(\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}\right)dx. $

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2\sin x - 3\cos x$.

Используя табличные интегралы, получаем: $\int (2\sin x - 3\cos x)dx = 2\int \sin x dx - 3\int \cos x dx = 2(-\cos x) - 3(\sin x) = -2\cos x - 3\sin x$.

Таким образом, первообразная $F(x) = -2\cos x - 3\sin x$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x)dx = (-2\cos x - 3\sin x)|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (-2\cos\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{\pi}{2}) - (-2\cos\frac{\pi}{4} - 3\sin\frac{\pi}{4})$

$= (-2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - (-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= -3 - (-\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}) = -3 - (-\frac{2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2}) = -3 - (-\frac{5\sqrt{2}}{2})$

$= -3 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{2} - 3$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x)dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 2\cos x - 5\sin x$.

$F(x) = \int (2\cos x - 5\sin x)dx = 2\sin x - 5(-\cos x) = 2\sin x + 5\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x)dx = (2\sin x + 5\cos x)|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

$= (2\sin\frac{\pi}{3} + 5\cos\frac{\pi}{3}) - (2\sin\frac{\pi}{6} + 5\cos\frac{\pi}{6})$

$= (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \cdot \frac{1}{2}) - (2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

$= (\sqrt{3} + \frac{5}{2}) - (1 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$

$= \sqrt{3} + \frac{5}{2} - 1 - \frac{5\sqrt{3}}{2} = (\frac{5}{2} - \frac{2}{2}) + (\frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2})$

$= \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\pi} (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4})dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4}$, используя правило интегрирования сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)$, где $G$ - первообразная для $g$.

$F(x) = \int (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4})dx = \frac{1}{1/2}(-\cos\frac{x}{2}) + \frac{1}{1/4}(\sin\frac{x}{4}) = -2\cos\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{4}$.

Вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\pi} (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4})dx = (-2\cos\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{4})|_{0}^{\pi}$

$= (-2\cos\frac{\pi}{2} + 4\sin\frac{\pi}{4}) - (-2\cos 0 + 4\sin 0)$

$= (-2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

$= 2\sqrt{2} - (-2) = 2\sqrt{2} + 2$.

Ответ: $2 + 2\sqrt{2}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2})dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2}$.

$F(x) = \int (\sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2})dx = \frac{1}{1/3}(-\cos\frac{x}{3}) - \frac{1}{1/2}(\sin\frac{x}{2}) = -3\cos\frac{x}{3} - 2\sin\frac{x}{2}$.

Вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2})dx = (-3\cos\frac{x}{3} - 2\sin\frac{x}{2})|_{-\frac{\pi}{2}}^{0}$

$= (-3\cos(0) - 2\sin(0)) - (-3\cos(\frac{-\pi/2}{3}) - 2\sin(\frac{-\pi/2}{2}))$

$= (-3\cos 0 - 2\sin 0) - (-3\cos(-\frac{\pi}{6}) - 2\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Учитывая, что косинус — четная функция ($\cos(-a)=\cos(a)$), а синус — нечетная ($\sin(-a)=-\sin(a)$), получаем:

$= (-3 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - (-3\cos\frac{\pi}{6} + 2\sin\frac{\pi}{4})$

$= -3 - (-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = -3 - (-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2})$

$= -3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} - 3$.