Номер 3.3, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.3. 1) $\int_{-2}^{1} 4x^3 dx;$

2) $\int_{-1}^{1} 5x^4 dx;$

3) $\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx;$

4) $\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 4x^3 $:

$ F(x) = \int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 $.

Теперь вычислим значение интеграла:

$ \int_{-2}^{1} 4x^3 dx = \left. x^4 \right|_{-2}^{1} = 1^4 - (-2)^4 = 1 - 16 = -15 $.

Ответ: $ -15 $.

2) Аналогично предыдущему пункту, найдем первообразную для функции $ f(x) = 5x^4 $:

$ F(x) = \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 $.

Вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{1} 5x^4 dx = \left. x^5 \right|_{-1}^{1} = 1^5 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 $.

Ответ: $ 2 $.

3) Найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{x^2}{5} = \frac{1}{5}x^2 $:

$ F(x) = \int \frac{1}{5}x^2 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{15} $.

Вычислим значение интеграла:

$ \int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx = \left. \frac{x^3}{15} \right|_{1}^{3} = \frac{3^3}{15} - \frac{1^3}{15} = \frac{27}{15} - \frac{1}{15} = \frac{26}{15} $.

Ответ: $ \frac{26}{15} $.

4) Найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{x^3}{2} = \frac{1}{2}x^3 $:

$ F(x) = \int \frac{1}{2}x^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{8} $.

Вычислим значение интеграла:

$ \int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx = \left. \frac{x^4}{8} \right|_{-2}^{1} = \frac{1^4}{8} - \frac{(-2)^4}{8} = \frac{1}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{15}{8} $.

Ответ: $ -\frac{15}{8} $.