Номер 2.10, страница 24 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.10. 1) $f(x) = 0.5x + 1.5$, $[-3; -1]$ и $g(x) = -x^2 - 2x$, $[-1; 0];$

2) $f(x) = x^2 + 4x + 4$, $[-2; -1]$ и $g(x) = -x$, $[-1; 0].$

1)

Для функции $f(x) = 0,5x + 1,5$ на отрезке $[-3; -1]$:

Данная функция является линейной. Ее график — прямая линия. Угловой коэффициент $k=0,5$ положителен, следовательно, функция возрастает на всей своей области определения, включая отрезок $[-3; -1]$.

Для возрастающей функции наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(-3) = 0,5 \cdot (-3) + 1,5 = -1,5 + 1,5 = 0$.

Наибольшее значение: $f(-1) = 0,5 \cdot (-1) + 1,5 = -0,5 + 1,5 = 1$.

Область значений функции $f(x)$ на отрезке $[-3; -1]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Для функции $g(x) = -x^2 - 2x$ на отрезке $[-1; 0]$:

Данная функция является квадратичной. Ее график — парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $x^2$ отрицателен ($-1 < 0$).

Свое наибольшее значение такая функция принимает в вершине. Найдем координату x вершины параболы:

$x_в = - \frac{b}{2a} = - \frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -1$.

Абсцисса вершины $x_в = -1$ является левым концом заданного отрезка $[-1; 0]$. Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция убывает на промежутке $[-1; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[-1; 0]$ функция убывает.

Таким образом, наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $g(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) = -1 + 2 = 1$.

Наименьшее значение: $g(0) = -(0)^2 - 2(0) = 0$.

Область значений функции $g(x)$ на отрезке $[-1; 0]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Ответ: область значений для $f(x)$ на $[-3; -1]$ равна $[0; 1]$; область значений для $g(x)$ на $[-1; 0]$ равна $[0; 1]$.

2)

Для функции $f(x) = x^2 + 4x + 4$ на отрезке $[-2; -1]$:

Данная функция является квадратичной. Заметим, что выражение можно представить в виде полного квадрата: $f(x) = (x+2)^2$.

График функции — парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$).

Свое наименьшее значение такая функция принимает в вершине. Абсцисса вершины параболы $x_в = -2$, что совпадает с левым концом отрезка $[-2; -1]$.

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция возрастает на промежутке $[-2; +\infty)$. Следовательно, на отрезке $[-2; -1]$ функция возрастает.

Таким образом, наименьшее значение достигается на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $f(-2) = (-2+2)^2 = 0^2 = 0$.

Наибольшее значение: $f(-1) = (-1+2)^2 = 1^2 = 1$.

Область значений функции $f(x)$ на отрезке $[-2; -1]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Для функции $g(x) = -x$ на отрезке $[-1; 0]$:

Данная функция является линейной. Ее график — прямая. Угловой коэффициент $k=-1$ отрицателен, следовательно, функция убывает на всей своей области определения, включая отрезок $[-1; 0]$.

Для убывающей функции наибольшее значение достигается на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.

Найдем значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $g(-1) = -(-1) = 1$.

Наименьшее значение: $g(0) = -0 = 0$.

Область значений функции $g(x)$ на отрезке $[-1; 0]$ — это отрезок $[0; 1]$.

Ответ: область значений для $f(x)$ на $[-2; -1]$ равна $[0; 1]$; область значений для $g(x)$ на $[-1; 0]$ равна $[0; 1]$.