Номер 2.8, страница 23 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

2.8. 1) $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $y = 0$, $x = -\frac{3}{4}$, $x = 1$;

2) $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y = 0$, $x = 0$, $x = -3$.

1)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $y=0$, $x = -\frac{3}{4}$ и $x=1$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура представляет собой криволинейную трапецию, расположенную над осью Ox, так как функция $y = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$ положительна на интервале $[-\frac{3}{4}, 1]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}}$, $a = -\frac{3}{4}$, $b=1$.

$S = \int_{-\frac{3}{4}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x+1}} dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x+1}} = (x+1)^{-\frac{1}{2}}$.

$\int (x+1)^{-\frac{1}{2}} dx = \frac{(x+1)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} + C = \frac{(x+1)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{x+1} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. 2\sqrt{x+1} \right|_{-\frac{3}{4}}^{1} = 2\sqrt{1+1} - 2\sqrt{-\frac{3}{4}+1} = 2\sqrt{2} - 2\sqrt{\frac{1}{4}} = 2\sqrt{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{2} - 1$.

Ответ: $2\sqrt{2} - 1$

2)

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $y=0$, $x=0$ и $x=-3$, также используем определенный интеграл. Пределы интегрирования будут от -3 до 0. Функция $y = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$ положительна на интервале $[-3, 0]$.

Площадь $S$ вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} f(x) dx$

В данном случае $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}}$, $a = -3$, $b=0$.

$S = \int_{-3}^{0} \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx$

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x}} = (1-x)^{-\frac{1}{2}}$. Для этого сделаем замену $u = 1-x$, тогда $du = -dx$.

$\int (1-x)^{-\frac{1}{2}} dx = \int u^{-\frac{1}{2}} (-du) = -\int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -2\sqrt{u} + C = -2\sqrt{1-x} + C$

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \left. -2\sqrt{1-x} \right|_{-3}^{0} = (-2\sqrt{1-0}) - (-2\sqrt{1-(-3)}) = -2\sqrt{1} - (-2\sqrt{4}) = -2 - (-2 \cdot 2) = -2 + 4 = 2$.

Ответ: $2$