Номер 3.1, страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите интегралы (3.1–3.10):

3.1. 1) $\int_{0}^{1} x^5 dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x dx;$

3.1. 1) Для вычисления этого определенного интеграла мы используем формулу Ньютона-Лейбница: $∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Первообразная для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=5$.

Таким образом, первообразная для $f(x) = x^5$ равна $F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}$.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

$∫_0^1 x^5 dx = \left. \frac{x^6}{6} \right|_0^1 = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Для вычисления интеграла от тригонометрической функции $\sin(x)$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = \sin(x)$ есть $F(x) = -\cos(x)$.

Вычислим определенный интеграл:

$∫_0^{\pi/2} \sin(x) dx = \left. (-\cos(x)) \right|_0^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0))$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(0) = 1$. Подставим эти значения:

$(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

3) Сначала преобразуем подынтегральную функцию $\frac{1}{x^4}$ в степенную форму $x^{-4}$.

Затем найдем первообразную, используя правило для степенных функций, где $n=-4$:

$F(x) = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от 1 до 2:

$∫_1^2 \frac{1}{x^4} dx = ∫_1^2 x^{-4} dx = \left. -\frac{1}{3x^3} \right|_1^2 = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right)$.

Выполняем вычисления:

$= -\frac{1}{3 \cdot 8} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$-\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{-1+8}{24} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

4) Для вычисления интеграла найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(x)$. Первообразной является функция $F(x) = \sin(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от 0 до $\frac{\pi}{6}$:

$∫_0^{\pi/6} \cos(x) dx = \left. \sin(x) \right|_0^{\pi/6} = \sin(\frac{\pi}{6}) - \sin(0)$.

Используем известные значения синусов: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$.

Подставляем значения и получаем результат:

$\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.