Страница 27 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

Вычислите интегралы (3.1–3.10):

3.1. 1) $\int_{0}^{1} x^5 dx;$

2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x dx;$

3) $\int_{1}^{2} \frac{1}{x^4} dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos x dx;$

3.1. 1) Для вычисления этого определенного интеграла мы используем формулу Ньютона-Лейбница: $∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Первообразная для степенной функции $f(x) = x^n$ находится по формуле $F(x) = \frac{x^{n+1}}{n+1}$. В данном случае $n=5$.

Таким образом, первообразная для $f(x) = x^5$ равна $F(x) = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}$.

Теперь подставим пределы интегрирования от 0 до 1:

$∫_0^1 x^5 dx = \left. \frac{x^6}{6} \right|_0^1 = \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6} = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) Для вычисления интеграла от тригонометрической функции $\sin(x)$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница. Первообразная для функции $f(x) = \sin(x)$ есть $F(x) = -\cos(x)$.

Вычислим определенный интеграл:

$∫_0^{\pi/2} \sin(x) dx = \left. (-\cos(x)) \right|_0^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0))$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(0) = 1$. Подставим эти значения:

$(-0) - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: $1$.

3) Сначала преобразуем подынтегральную функцию $\frac{1}{x^4}$ в степенную форму $x^{-4}$.

Затем найдем первообразную, используя правило для степенных функций, где $n=-4$:

$F(x) = \frac{x^{-4+1}}{-4+1} = \frac{x^{-3}}{-3} = -\frac{1}{3x^3}$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от 1 до 2:

$∫_1^2 \frac{1}{x^4} dx = ∫_1^2 x^{-4} dx = \left. -\frac{1}{3x^3} \right|_1^2 = \left(-\frac{1}{3 \cdot 2^3}\right) - \left(-\frac{1}{3 \cdot 1^3}\right)$.

Выполняем вычисления:

$= -\frac{1}{3 \cdot 8} - \left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{1}{24} + \frac{1}{3}$.

Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$-\frac{1}{24} + \frac{8}{24} = \frac{-1+8}{24} = \frac{7}{24}$.

Ответ: $\frac{7}{24}$.

4) Для вычисления интеграла найдем первообразную для функции $f(x) = \cos(x)$. Первообразной является функция $F(x) = \sin(x)$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами интегрирования от 0 до $\frac{\pi}{6}$:

$∫_0^{\pi/6} \cos(x) dx = \left. \sin(x) \right|_0^{\pi/6} = \sin(\frac{\pi}{6}) - \sin(0)$.

Используем известные значения синусов: $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(0) = 0$.

Подставляем значения и получаем результат:

$\frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

3.2. 1) $\int_1^4 \frac{1}{\sqrt{x}} dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx;$

3) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx;$

4) $\int_9^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}}$. Для этого представим функцию в виде степени: $f(x) = x^{-1/2}$.

Первообразная для степенной функции $x^n$ находится по формуле $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Для $n = -1/2$, получаем: $F(x) = \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} = 2\sqrt{x}$.

Теперь подставляем в формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = [2\sqrt{x}]_{1}^{4} = 2\sqrt{4} - 2\sqrt{1} = 2 \cdot 2 - 2 \cdot 1 = 4 - 2 = 2$.

Ответ: $2$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$ найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$.

Это табличный интеграл, первообразная для которого равна $F(x) = -\cot x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cot(\frac{\pi}{3})) - (-\cot(\frac{\pi}{4})) = -\cot(\frac{\pi}{3}) + \cot(\frac{\pi}{4})$.

Зная значения котангенса: $\cot(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$.

Подставляем и вычисляем: $-\frac{\sqrt{3}}{3} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Первообразная для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является табличной: $F(x) = \tan x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0)$.

Значения тангенса: $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ и $\tan(0) = 0$.

Подставляем и вычисляем: $1 - 0 = 1$.

Ответ: $1$.

4) Вычислим интеграл $\int_{9}^{16} \frac{3}{\sqrt{x}} dx$.

Вынесем постоянный множитель 3 за знак интеграла: $3 \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$.

Первообразная для функции $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ равна $F(x) = 2\sqrt{x}$ (как в пункте 1).

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$3 \int_{9}^{16} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = 3 \cdot [2\sqrt{x}]_{9}^{16} = 3 \cdot (2\sqrt{16} - 2\sqrt{9})$.

Вычисляем значения корней: $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{9} = 3$.

Подставляем и вычисляем: $3 \cdot (2 \cdot 4 - 2 \cdot 3) = 3 \cdot (8 - 6) = 3 \cdot 2 = 6$.

Ответ: $6$.

3.3. 1) $\int_{-2}^{1} 4x^3 dx;$

2) $\int_{-1}^{1} 5x^4 dx;$

3) $\int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx;$

4) $\int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ - первообразная для $ f(x) $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 4x^3 $:

$ F(x) = \int 4x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 $.

Теперь вычислим значение интеграла:

$ \int_{-2}^{1} 4x^3 dx = \left. x^4 \right|_{-2}^{1} = 1^4 - (-2)^4 = 1 - 16 = -15 $.

Ответ: $ -15 $.

2) Аналогично предыдущему пункту, найдем первообразную для функции $ f(x) = 5x^4 $:

$ F(x) = \int 5x^4 dx = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5 $.

Вычислим значение интеграла по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^{1} 5x^4 dx = \left. x^5 \right|_{-1}^{1} = 1^5 - (-1)^5 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 $.

Ответ: $ 2 $.

3) Найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{x^2}{5} = \frac{1}{5}x^2 $:

$ F(x) = \int \frac{1}{5}x^2 dx = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{15} $.

Вычислим значение интеграла:

$ \int_{1}^{3} \frac{x^2}{5} dx = \left. \frac{x^3}{15} \right|_{1}^{3} = \frac{3^3}{15} - \frac{1^3}{15} = \frac{27}{15} - \frac{1}{15} = \frac{26}{15} $.

Ответ: $ \frac{26}{15} $.

4) Найдем первообразную для функции $ f(x) = \frac{x^3}{2} = \frac{1}{2}x^3 $:

$ F(x) = \int \frac{1}{2}x^3 dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{x^4}{8} $.

Вычислим значение интеграла:

$ \int_{-2}^{1} \frac{x^3}{2} dx = \left. \frac{x^4}{8} \right|_{-2}^{1} = \frac{1^4}{8} - \frac{(-2)^4}{8} = \frac{1}{8} - \frac{16}{8} = -\frac{15}{8} $.

Ответ: $ -\frac{15}{8} $.

3.4. 1) $\int_{2}^{3}(2x-1)dx;$

2) $\int_{0}^{1}(3x+2)dx;$

3) $\int_{0}^{3}(x^3-2)dx;$

4) $\int_{2}^{4}(3x^2+1)dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{2}^{3} (2x - 1)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2x - 1$. Первообразная $F(x) = \int (2x - 1)dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - x = x^2 - x$. Теперь подставим пределы интегрирования и вычислим разность значений первообразной: $\int_{2}^{3} (2x - 1)dx = (x^2 - x) \Big|_{2}^{3} = (3^2 - 3) - (2^2 - 2) = (9 - 3) - (4 - 2) = 6 - 2 = 4$.

Ответ: 4

2) Вычислим интеграл $\int_{0}^{1} (3x + 2)dx$. Найдем первообразную для $f(x) = 3x + 2$: $F(x) = \int (3x + 2)dx = 3\frac{x^2}{2} + 2x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $(\frac{3x^2}{2} + 2x) \Big|_{0}^{1} = (\frac{3 \cdot 1^2}{2} + 2 \cdot 1) - (\frac{3 \cdot 0^2}{2} + 2 \cdot 0) = (\frac{3}{2} + 2) - 0 = \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{7}{2} = 3.5$.

Ответ: 3.5

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{3} (x^3 - 2)dx$. Первообразная для $f(x) = x^3 - 2$ равна $F(x) = \int (x^3 - 2)dx = \frac{x^4}{4} - 2x$. По формуле Ньютона-Лейбница: $(\frac{x^4}{4} - 2x) \Big|_{0}^{3} = (\frac{3^4}{4} - 2 \cdot 3) - (\frac{0^4}{4} - 2 \cdot 0) = (\frac{81}{4} - 6) - 0 = \frac{81}{4} - \frac{24}{4} = \frac{57}{4} = 14.25$.

Ответ: 14.25

4) Вычислим интеграл $\int_{2}^{4} (3x^2 + 1)dx$. Найдем первообразную для $f(x) = 3x^2 + 1$: $F(x) = \int (3x^2 + 1)dx = 3\frac{x^3}{3} + x = x^3 + x$. Применим формулу Ньютона-Лейбница: $(x^3 + x) \Big|_{2}^{4} = (4^3 + 4) - (2^3 + 2) = (64 + 4) - (8 + 2) = 68 - 10 = 58$.

Ответ: 58

3.5. 1) $\int_{1}^{2} (2x - x^2)dx;$

2) $\int_{0}^{2} (2x + x^2)dx;$

3) $\int_{0}^{1} (1 + x^4)dx;$

4) $\int_{-1}^{0} (1 - x^5)dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $ \int_1^2 (2x - x^2) dx $ используется формула Ньютона-Лейбница: $ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $, где $ F(x) $ является первообразной для $ f(x) $.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $ f(x) = 2x - x^2 $.

$ F(x) = \int (2x - x^2) dx = \int 2x dx - \int x^2 dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} = x^2 - \frac{x^3}{3} $.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования:

$ \int_1^2 (2x - x^2) dx = (x^2 - \frac{x^3}{3}) \Big|_1^2 = (2^2 - \frac{2^3}{3}) - (1^2 - \frac{1^3}{3}) = (4 - \frac{8}{3}) - (1 - \frac{1}{3}) = \frac{12-8}{3} - \frac{3-1}{3} = \frac{4}{3} - \frac{2}{3} = \frac{2}{3} $.

Ответ: $ \frac{2}{3} $.

2) Вычислим определенный интеграл $ \int_0^2 (2x + x^2) dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 2x + x^2 $:

$ F(x) = \int (2x + x^2) dx = x^2 + \frac{x^3}{3} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_0^2 (2x + x^2) dx = (x^2 + \frac{x^3}{3}) \Big|_0^2 = (2^2 + \frac{2^3}{3}) - (0^2 + \frac{0^3}{3}) = (4 + \frac{8}{3}) - 0 = \frac{12+8}{3} = \frac{20}{3} $.

Ответ: $ \frac{20}{3} $.

3) Вычислим определенный интеграл $ \int_0^1 (1 + x^4) dx $.

Найдем первообразную для функции $ f(x) = 1 + x^4 $:

$ F(x) = \int (1 + x^4) dx = x + \frac{x^5}{5} $.

Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:

$ \int_0^1 (1 + x^4) dx = (x + \frac{x^5}{5}) \Big|_0^1 = (1 + \frac{1^5}{5}) - (0 + \frac{0^5}{5}) = 1 + \frac{1}{5} - 0 = \frac{6}{5} $.

Ответ: $ \frac{6}{5} $.

4) Вычислим определенный интеграл $ \int_{-1}^0 (1 - x^5) dx $.

Первообразная для функции $ f(x) = 1 - x^5 $ равна:

$ F(x) = \int (1 - x^5) dx = x - \frac{x^6}{6} $.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{-1}^0 (1 - x^5) dx = (x - \frac{x^6}{6}) \Big|_{-1}^0 = (0 - \frac{0^6}{6}) - (-1 - \frac{(-1)^6}{6}) = 0 - (-1 - \frac{1}{6}) = -(-\frac{7}{6}) = \frac{7}{6} $.

Ответ: $ \frac{7}{6} $.

3.6. 1) $\int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx;$

2) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^0 (1 - \sin x)dx;$

3) $\int_{-\frac{\pi}{4}}^0 (3 - 5\cos x)dx;$

4) $\int_0^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx.$

1)

Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \cos x + 1$.

$F(x) = \int (\cos x + 1)dx = \int \cos x dx + \int 1 dx = \sin x + x$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos x + 1)dx = [\sin x + x] \Big|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \frac{\pi}{2}\right) - (\sin(0) + 0)$.

Зная, что $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ и $\sin(0) = 0$, получаем:

$\left(1 + \frac{\pi}{2}\right) - (0 + 0) = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi}{2}$.

2)

Вычислим определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 1 - \sin x$.

$F(x) = \int (1 - \sin x)dx = \int 1 dx - \int \sin x dx = x - (-\cos x) = x + \cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (1 - \sin x)dx = [x + \cos x] \Big|_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = (0 + \cos(0)) - \left(-\frac{\pi}{2} + \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)$.

Так как $\cos(0) = 1$ и $\cos(-\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$, то:

$(0 + 1) - \left(-\frac{\pi}{2} + 0\right) = 1 - \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 1 + \frac{\pi}{2}$.

Ответ: $1 + \frac{\pi}{2}$.

3)

Вычислим определенный интеграл $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3 - 5\cos x$.

$F(x) = \int (3 - 5\cos x)dx = \int 3 dx - 5\int \cos x dx = 3x - 5\sin x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{0} (3 - 5\cos x)dx = [3x - 5\sin x] \Big|_{-\frac{\pi}{4}}^{0} = (3 \cdot 0 - 5\sin(0)) - \left(3\left(-\frac{\pi}{4}\right) - 5\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right)$.

Зная, что $\sin(0) = 0$ и $\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$(0 - 0) - \left(-\frac{3\pi}{4} - 5\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right) = 0 - \left(-\frac{3\pi}{4} + \frac{5\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4} - \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

4)

Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 4\sin x + 3$.

$F(x) = \int (4\sin x + 3)dx = 4\int \sin x dx + \int 3 dx = 4(-\cos x) + 3x = -4\cos x + 3x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (4\sin x + 3)dx = [-4\cos x + 3x] \Big|_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \left(-4\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + 3 \cdot \frac{\pi}{4}\right) - (-4\cos(0) + 3 \cdot 0)$.

Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\cos(0) = 1$, то:

$\left(-4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4 \cdot 1 + 0) = \left(-2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4}\right) - (-4) = -2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4} + 4$.

Ответ: $4 - 2\sqrt{2} + \frac{3\pi}{4}$.

3.7. 1) $\int_{0}^{1} (8x^7 + 2)dx;$

2) $\int_{-1}^{0} (3 - 9x^8)dx;$

3) $\int_{-1}^{1} (6x^5 - 4)dx;$

4) $\int_{1}^{2} (7x^6 + 9)dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{0}^{1}(8x^7 + 2)dx$ используется формула Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b}f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 8x^7 + 2$. Используя основное правило интегрирования степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем:

$F(x) = \int (8x^7 + 2)dx = 8 \cdot \frac{x^{7+1}}{7+1} + 2x = 8 \cdot \frac{x^8}{8} + 2x = x^8 + 2x$.

Теперь подставим пределы интегрирования $a=0$ и $b=1$ в найденную первообразную:

$\int_{0}^{1}(8x^7 + 2)dx = (x^8 + 2x) \Big|_0^1 = F(1) - F(0) = (1^8 + 2 \cdot 1) - (0^8 + 2 \cdot 0) = (1 + 2) - (0 + 0) = 3 - 0 = 3$.

Ответ: 3

2) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{0}(3 - 9x^8)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 3 - 9x^8$:

$F(x) = \int (3 - 9x^8)dx = 3x - 9 \cdot \frac{x^{8+1}}{8+1} = 3x - 9 \cdot \frac{x^9}{9} = 3x - x^9$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=-1$ и $b=0$:

$\int_{-1}^{0}(3 - 9x^8)dx = (3x - x^9) \Big|_{-1}^0 = F(0) - F(-1) = (3 \cdot 0 - 0^9) - (3 \cdot (-1) - (-1)^9) = (0 - 0) - (-3 - (-1)) = 0 - (-3 + 1) = 0 - (-2) = 2$.

Ответ: 2

3) Вычислим интеграл $\int_{-1}^{1}(6x^5 - 4)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 6x^5 - 4$:

$F(x) = \int (6x^5 - 4)dx = 6 \cdot \frac{x^{5+1}}{5+1} - 4x = 6 \cdot \frac{x^6}{6} - 4x = x^6 - 4x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=-1$ и $b=1$:

$\int_{-1}^{1}(6x^5 - 4)dx = (x^6 - 4x) \Big|_{-1}^1 = F(1) - F(-1) = (1^6 - 4 \cdot 1) - ((-1)^6 - 4 \cdot (-1)) = (1 - 4) - (1 + 4) = -3 - 5 = -8$.

Ответ: -8

4) Вычислим интеграл $\int_{1}^{2}(7x^6 + 9)dx$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = 7x^6 + 9$:

$F(x) = \int (7x^6 + 9)dx = 7 \cdot \frac{x^{6+1}}{6+1} + 9x = 7 \cdot \frac{x^7}{7} + 9x = x^7 + 9x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница с пределами $a=1$ и $b=2$:

$\int_{1}^{2}(7x^6 + 9)dx = (x^7 + 9x) \Big|_1^2 = F(2) - F(1) = (2^7 + 9 \cdot 2) - (1^7 + 9 \cdot 1) = (128 + 18) - (1 + 9) = 146 - 10 = 136$.

Ответ: 136