Страница 26 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного?

2. Почему $\int_a^b f(x)dx$ называется определенным интегралом?

3. Какому условию должна удовлетворять функция $f(x)$, чтобы можно было записать формулу Ньютона—Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$?

1. Определенный и неопределенный интегралы — это два связанных, но принципиально разных понятия в математическом анализе. Их ключевые отличия заключаются в их определении, результате вычисления и геометрической интерпретации.

Неопределенный интеграл от функции $f(x)$, обозначаемый как $\int f(x)dx$, представляет собой семейство всех первообразных для данной функции. Первообразной функцией $F(x)$ для функции $f(x)$ называется такая функция, производная которой равна $f(x)$, то есть $F'(x) = f(x)$. Поскольку производная любой константы равна нулю, если $F(x)$ является первообразной, то и любая функция вида $F(x) + C$, где $C$ — произвольная постоянная, также будет первообразной. Таким образом, результатом вычисления неопределенного интеграла является функция (точнее, множество функций).

Определенный интеграл от функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, обозначаемый как $\int_a^b f(x)dx$, — это число. Геометрически это число представляет собой площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс ($Ox$) и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$ (с учетом знака: площадь выше оси $Ox$ берется с плюсом, а ниже — с минусом). Его значение вычисляется по формуле Ньютона—Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — одна из первообразных для $f(x)$.

Ответ: Основное отличие в том, что неопределенный интеграл — это совокупность функций (первообразных), а определенный интеграл — это конкретное число.

2. Интеграл $\int_a^b f(x)dx$ называется определенным, потому что его значение однозначно определено (задано, зафиксировано) самой функцией $f(x)$ и пределами интегрирования — числами $a$ и $b$. В отличие от неопределенного интеграла $\int f(x)dx = F(x) + C$, который содержит произвольную постоянную $C$ и потому является "неопределенным" (представляет целое семейство функций), значение определенного интеграла является единственным и конкретным числом. Как только функция и отрезок интегрирования заданы, результат вычисления не может быть иным. Он не зависит от выбора конкретной первообразной (так как константа $C$ сокращается при вычислении разности $F(b) - F(a)$) и не содержит никакой неопределенности.

Ответ: Он называется определенным, так как его значение является конкретным, единственным числом, однозначно определяемым подынтегральной функцией и заданными пределами интегрирования.

3. Для того чтобы можно было применить формулу Ньютона—Лейбница $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F'(x)=f(x)$, подынтегральная функция $f(x)$ должна удовлетворять одному важному условию: она должна быть непрерывной на отрезке интегрирования $[a, b]$.

Непрерывность функции $f(x)$ на замкнутом промежутке $[a, b]$ является достаточным условием для существования как самого определенного интеграла (то есть, функция является интегрируемой по Риману), так и ее первообразной $F(x)$ на этом отрезке. Если функция $f(x)$ имеет на отрезке разрывы (например, скачки или бесконечные разрывы), то прямое применение формулы Ньютона—Лейбница становится невозможным или требует специального подхода (например, через несобственные интегралы).

Ответ: Функция $f(x)$ должна быть непрерывной на отрезке $[a, b]$.