Страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.8. 1) $ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x)dx; $

2) $ \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x)dx; $

3) $ \int_{0}^{\pi} \left(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{4}\right)dx $

4) $ \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \left(\sin \frac{x}{3} - \cos \frac{x}{2}\right)dx. $

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x)dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = 2\sin x - 3\cos x$.

Используя табличные интегралы, получаем: $\int (2\sin x - 3\cos x)dx = 2\int \sin x dx - 3\int \cos x dx = 2(-\cos x) - 3(\sin x) = -2\cos x - 3\sin x$.

Таким образом, первообразная $F(x) = -2\cos x - 3\sin x$.

Теперь подставим пределы интегрирования:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (2\sin x - 3\cos x)dx = (-2\cos x - 3\sin x)|_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}$

$= (-2\cos\frac{\pi}{2} - 3\sin\frac{\pi}{2}) - (-2\cos\frac{\pi}{4} - 3\sin\frac{\pi}{4})$

$= (-2 \cdot 0 - 3 \cdot 1) - (-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2})$

$= -3 - (-\sqrt{2} - \frac{3\sqrt{2}}{2}) = -3 - (-\frac{2\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2}) = -3 - (-\frac{5\sqrt{2}}{2})$

$= -3 + \frac{5\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{2}}{2} - 3$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x)dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = 2\cos x - 5\sin x$.

$F(x) = \int (2\cos x - 5\sin x)dx = 2\sin x - 5(-\cos x) = 2\sin x + 5\cos x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} (2\cos x - 5\sin x)dx = (2\sin x + 5\cos x)|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}}$

$= (2\sin\frac{\pi}{3} + 5\cos\frac{\pi}{3}) - (2\sin\frac{\pi}{6} + 5\cos\frac{\pi}{6})$

$= (2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 5 \cdot \frac{1}{2}) - (2 \cdot \frac{1}{2} + 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$

$= (\sqrt{3} + \frac{5}{2}) - (1 + \frac{5\sqrt{3}}{2})$

$= \sqrt{3} + \frac{5}{2} - 1 - \frac{5\sqrt{3}}{2} = (\frac{5}{2} - \frac{2}{2}) + (\frac{2\sqrt{3}}{2} - \frac{5\sqrt{3}}{2})$

$= \frac{3}{2} - \frac{3\sqrt{3}}{2} = \frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{3 - 3\sqrt{3}}{2}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\pi} (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4})dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4}$, используя правило интегрирования сложной функции $\int g(kx+b)dx = \frac{1}{k}G(kx+b)$, где $G$ - первообразная для $g$.

$F(x) = \int (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4})dx = \frac{1}{1/2}(-\cos\frac{x}{2}) + \frac{1}{1/4}(\sin\frac{x}{4}) = -2\cos\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{4}$.

Вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\pi} (\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{4})dx = (-2\cos\frac{x}{2} + 4\sin\frac{x}{4})|_{0}^{\pi}$

$= (-2\cos\frac{\pi}{2} + 4\sin\frac{\pi}{4}) - (-2\cos 0 + 4\sin 0)$

$= (-2 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) - (-2 \cdot 1 + 4 \cdot 0)$

$= 2\sqrt{2} - (-2) = 2\sqrt{2} + 2$.

Ответ: $2 + 2\sqrt{2}$.

4) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2})dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2}$.

$F(x) = \int (\sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2})dx = \frac{1}{1/3}(-\cos\frac{x}{3}) - \frac{1}{1/2}(\sin\frac{x}{2}) = -3\cos\frac{x}{3} - 2\sin\frac{x}{2}$.

Вычислим значение по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} (\sin\frac{x}{3} - \cos\frac{x}{2})dx = (-3\cos\frac{x}{3} - 2\sin\frac{x}{2})|_{-\frac{\pi}{2}}^{0}$

$= (-3\cos(0) - 2\sin(0)) - (-3\cos(\frac{-\pi/2}{3}) - 2\sin(\frac{-\pi/2}{2}))$

$= (-3\cos 0 - 2\sin 0) - (-3\cos(-\frac{\pi}{6}) - 2\sin(-\frac{\pi}{4}))$.

Учитывая, что косинус — четная функция ($\cos(-a)=\cos(a)$), а синус — нечетная ($\sin(-a)=-\sin(a)$), получаем:

$= (-3 \cdot 1 - 2 \cdot 0) - (-3\cos\frac{\pi}{6} + 2\sin\frac{\pi}{4})$

$= -3 - (-3 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}) = -3 - (-\frac{3\sqrt{3}}{2} + \sqrt{2})$

$= -3 + \frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2}$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2} - \sqrt{2} - 3$.

3.9. 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) dx;$

3) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)} dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3}{\sin^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right)} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Первообразная для $\sin(u)$ есть $-\cos(u)$. В нашем случае, если сделать замену $u = x - \frac{\pi}{3}$, то $du = dx$. Поэтому $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx = [-\cos(x - \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3})) = -\cos(0) + \cos(-\frac{\pi}{6})$.

Так как $\cos(0) = 1$ и функция косинуса четная, $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x + \frac{\pi}{6}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Первообразная для $\cos(u)$ есть $\sin(u)$. Здесь $u = x + \frac{\pi}{6}$, следовательно, $F(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x + \frac{\pi}{6}) dx = [\sin(x + \frac{\pi}{6})]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$.

Вычисляем значения синусов:

$\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

Первообразная для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ есть $\tan(u)$. В нашем случае $u = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому $F(x) = 2\tan(x - \frac{\pi}{4})$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} dx = [2\tan(x - \frac{\pi}{4})]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 2\tan(0 - \frac{\pi}{4}) - 2\tan(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})$.

Вычисляем значения тангенсов:

$2\tan(-\frac{\pi}{4}) = 2(-1) = -2$.

$2\tan(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 2\tan(-\frac{3\pi}{4}) = 2\tan(-\frac{3\pi}{4} + \pi) = 2\tan(\frac{\pi}{4}) = 2(1) = 2$.

Подставляем найденные значения:

$-2 - 2 = -4$.

Ответ: $-4$.

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

Первообразная для $\frac{1}{\sin^2(u)}$ есть $-\cot(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{4}$, поэтому $F(x) = -3\cot(x + \frac{\pi}{4})$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} dx = [-3\cot(x + \frac{\pi}{4})]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (-3\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4})) - (-3\cot(0 + \frac{\pi}{4}))$.

Вычисляем значения котангенсов:

$-3\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = -3\cot(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot 0 = 0$.

$-3\cot(0 + \frac{\pi}{4}) = -3\cot(\frac{\pi}{4}) = -3 \cdot 1 = -3$.

Подставляем найденные значения:

$0 - (-3) = 3$.

Ответ: $3$.

3.10. 1) $\int_{1}^{4} \left(2x + \frac{3}{\sqrt{x}}\right) dx;

2) $\int_{4}^{9} \left(6 - \frac{5}{\sqrt{x}}\right) dx;

3) $\int_{-5}^{0} \left(\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5\right) dx;

4) $\int_{0}^{8} \left(7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}\right) dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для подынтегральной функции $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = 2x + \frac{3}{\sqrt{x}}$. Представим ее в виде $f(x) = 2x + 3x^{-1/2}$.

Интегрируя, получаем:

$F(x) = \int (2x + 3x^{-1/2}) dx = \int 2x dx + \int 3x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + 3 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 2 \cdot \frac{x^2}{2} + 3 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = x^2 + 6\sqrt{x} + C$.

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница, подставив пределы интегрирования от 1 до 4:

$\int_{1}^{4} (2x + \frac{3}{\sqrt{x}}) dx = (x^2 + 6\sqrt{x}) \Big|_{1}^{4} = (4^2 + 6\sqrt{4}) - (1^2 + 6\sqrt{1}) = (16 + 6 \cdot 2) - (1 + 6 \cdot 1) = (16 + 12) - 7 = 28 - 7 = 21$.

Ответ: 21

2) Вычислим определенный интеграл $\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 6 - \frac{5}{\sqrt{x}} = 6 - 5x^{-1/2}$.

Найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (6 - 5x^{-1/2}) dx = \int 6 dx - \int 5x^{-1/2} dx = 6x - 5 \cdot \frac{x^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 6x - 5 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 6x - 10\sqrt{x} + C$.

Подставим пределы интегрирования в первообразную по формуле Ньютона-Лейбница:

$\int_{4}^{9} (6 - \frac{5}{\sqrt{x}}) dx = (6x - 10\sqrt{x}) \Big|_{4}^{9} = (6 \cdot 9 - 10\sqrt{9}) - (6 \cdot 4 - 10\sqrt{4}) = (54 - 10 \cdot 3) - (24 - 10 \cdot 2) = (54 - 30) - (24 - 20) = 24 - 4 = 20$.

Ответ: 20

3) Вычислим определенный интеграл $\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5 = 4(x+9)^{-1/2} + 5$.

Найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (4(x+9)^{-1/2} + 5) dx = \int 4(x+9)^{-1/2} dx + \int 5 dx = 4 \cdot \frac{(x+9)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + 5x + C = 4 \cdot \frac{(x+9)^{1/2}}{1/2} + 5x + C = 8\sqrt{x+9} + 5x + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-5}^{0} (\frac{4}{\sqrt{x+9}} + 5) dx = (8\sqrt{x+9} + 5x) \Big|_{-5}^{0} = (8\sqrt{0+9} + 5 \cdot 0) - (8\sqrt{-5+9} + 5(-5)) = (8\sqrt{9}) - (8\sqrt{4} - 25) = (8 \cdot 3) - (8 \cdot 2 - 25) = 24 - (16 - 25) = 24 - (-9) = 24 + 9 = 33$.

Ответ: 33

4) Вычислим определенный интеграл $\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx$.

Подынтегральная функция $f(x) = 7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}} = 7 - 5(1+x)^{-1/2}$.

Найдем ее первообразную $F(x)$:

$F(x) = \int (7 - 5(1+x)^{-1/2}) dx = \int 7 dx - \int 5(1+x)^{-1/2} dx = 7x - 5 \cdot \frac{(1+x)^{-1/2+1}}{-1/2+1} + C = 7x - 5 \cdot \frac{(1+x)^{1/2}}{1/2} + C = 7x - 10\sqrt{1+x} + C$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{8} (7 - \frac{5}{\sqrt{1+x}}) dx = (7x - 10\sqrt{1+x}) \Big|_{0}^{8} = (7 \cdot 8 - 10\sqrt{1+8}) - (7 \cdot 0 - 10\sqrt{1+0}) = (56 - 10\sqrt{9}) - (0 - 10\sqrt{1}) = (56 - 10 \cdot 3) - (-10) = (56 - 30) + 10 = 26 + 10 = 36$.

Ответ: 36

Докажите справедливость равенств (3.11–3.12):

3.11. 1) $\int_{1}^{2} 3x^2 dx = \int_{0}^{1} 14x dx;$

2) $\int_{1}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{1}^{3} dx.$

3.11. 1)

Чтобы доказать справедливость равенства, необходимо вычислить значение левой и правой частей по отдельности и убедиться, что они равны.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_{1}^{2} 3x^2 dx$

Используем формулу для интеграла степенной функции $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Первообразная для функции $3x^2$ равна $3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)$:

$\left[ x^3 \right]_{1}^{2} = 2^3 - 1^3 = 8 - 1 = 7$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_{0}^{1} 14x dx$

Первообразная для функции $14x$ равна $14 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 14 \cdot \frac{x^2}{2} = 7x^2$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ 7x^2 \right]_{0}^{1} = 7 \cdot 1^2 - 7 \cdot 0^2 = 7 - 0 = 7$.

Поскольку обе части равенства равны $7$, то равенство справедливо.

Ответ: $7 = 7$, равенство доказано.

2)

Аналогично предыдущему пункту, вычислим оба интеграла и сравним их значения.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}} dx$

Первообразная для функции $x^{-\frac{1}{2}}$ равна $\frac{x^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} = \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{4} = 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 = 6 - 4 = 2$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_{1}^{3} dx = \int_{1}^{3} 1 \cdot dx$

Первообразная для константы $1$ равна $x$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\left[ x \right]_{1}^{3} = 3 - 1 = 2$.

Поскольку обе части равенства равны $2$, то равенство справедливо.

Ответ: $2 = 2$, равенство доказано.

3.12. 1) $ \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_0^1 4x^3 dx; $

2) $ \int_0^1 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx. $

1) Требуется проверить справедливость равенства: $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = \int_0^1 4x^3 dx$.

Для этого вычислим значение каждого из определенных интегралов по отдельности, используя формулу Ньютона-Лейбница $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{\cos^2 x}$ является функция $F(x) = \tan x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{\cos^2 x} dx = [\tan x]_0^{\frac{\pi}{4}} = \tan(\frac{\pi}{4}) - \tan(0) = 1 - 0 = 1$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_0^1 4x^3 dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $g(x) = 4x^3$ является функция $G(x) = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_0^1 4x^3 dx = [x^4]_0^1 = 1^4 - 0^4 = 1 - 0 = 1$.

Поскольку оба интеграла равны 1, то равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

2) Требуется проверить справедливость равенства: $\int_0^1 5x^4 dx = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Аналогично первому пункту, вычислим оба интеграла.

Вычислим интеграл в левой части:

$\int_0^1 5x^4 dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $f(x) = 5x^4$ является функция $F(x) = 5 \cdot \frac{x^{4+1}}{4+1} = 5 \cdot \frac{x^5}{5} = x^5$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_0^1 5x^4 dx = [x^5]_0^1 = 1^5 - 0^5 = 1 - 0 = 1$.

Теперь вычислим интеграл в правой части:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx$.

Первообразной для подынтегральной функции $g(x) = \frac{1}{\sin^2 x}$ является функция $G(x) = -\cot x$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin^2 x} dx = [-\cot x]_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cot(\frac{\pi}{2})) - (-\cot(\frac{\pi}{4}))$.

Зная, что $\cot(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cot(\frac{\pi}{4}) = 1$, получаем:

$-0 - (-1) = 0 + 1 = 1$.

Поскольку оба интеграла равны 1, то равенство $1 = 1$ является верным.

Ответ: Равенство верно.

3.13. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\int_{-1}^{x} 3t^2 dt = 2;$

2) $\int_{x}^{1} 4tdt = 2;$

3) $\int_{0}^{x} 15t^4 dt = 96;$

4) $\int_{x}^{0} 9t^2 dt = 3?$

1) Чтобы найти значение $x$, при котором выполняется равенство $ \int_{-1}^{x} 3t^2 dt = 2 $, необходимо сначала вычислить определенный интеграл.

Первообразная для функции $ f(t) = 3t^2 $ находится по формуле $ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} $. Получаем $ F(t) = 3 \cdot \frac{t^3}{3} = t^3 $.

Далее применяем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a) $:

$ \int_{-1}^{x} 3t^2 dt = [t^3]_{-1}^{x} = x^3 - (-1)^3 = x^3 - (-1) = x^3 + 1 $.

Теперь решаем полученное уравнение:

$ x^3 + 1 = 2 $

$ x^3 = 2 - 1 $

$ x^3 = 1 $

$ x = 1 $.

Ответ: $x = 1$.

2) Решим уравнение $ \int_{x}^{1} 4t dt = 2 $.

Находим первообразную для $ f(t) = 4t $:

$ F(t) = \int 4t dt = 4 \cdot \frac{t^2}{2} = 2t^2 $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{1} 4t dt = [2t^2]_{x}^{1} = 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot x^2 = 2 - 2x^2 $.

Составляем и решаем уравнение:

$ 2 - 2x^2 = 2 $

$ -2x^2 = 0 $

$ x^2 = 0 $

$ x = 0 $.

Ответ: $x = 0$.

3) Решим уравнение $ \int_{0}^{x} 15t^4 dt = 96 $.

Находим первообразную для $ f(t) = 15t^4 $:

$ F(t) = \int 15t^4 dt = 15 \cdot \frac{t^5}{5} = 3t^5 $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{x} 15t^4 dt = [3t^5]_{0}^{x} = 3x^5 - 3 \cdot 0^5 = 3x^5 $.

Составляем и решаем уравнение:

$ 3x^5 = 96 $

$ x^5 = \frac{96}{3} $

$ x^5 = 32 $

$ x = \sqrt[5]{32} $

$ x = 2 $.

Ответ: $x = 2$.

4) Решим уравнение $ \int_{x}^{0} 9t^2 dt = 3 $.

Находим первообразную для $ f(t) = 9t^2 $:

$ F(t) = \int 9t^2 dt = 9 \cdot \frac{t^3}{3} = 3t^3 $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{0} 9t^2 dt = [3t^3]_{x}^{0} = 3 \cdot 0^3 - 3x^3 = -3x^3 $.

Составляем и решаем уравнение:

$ -3x^3 = 3 $

$ x^3 = \frac{3}{-3} $

$ x^3 = -1 $

$ x = \sqrt[3]{-1} $

$ x = -1 $.

Ответ: $x = -1$.

Вычислите (3.14—3.19):

3.14. 1) $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{2}} (2x + 1)^3 dx;$

2) $\int_{-2}^{0} \left(3 - \frac{x}{2}\right)^2 dx;$

3) $\int_{0}^{\frac{1}{3}} (3x - 2)^3 dx;$

4) $\int_{-4}^{0} \left(5 + \frac{x}{4}\right)^2 dx.$

3.14. 1) Чтобы вычислить определенный интеграл $ \int_{1/2}^{3/2} (2x + 1)^3 dx $, воспользуемся методом замены переменной. Пусть $ u = 2x + 1 $. Тогда $ du = 2 dx $, откуда $ dx = \frac{1}{2} du $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = 1/2 $, $ u = 2(\frac{1}{2}) + 1 = 1 + 1 = 2 $;

при $ x = 3/2 $, $ u = 2(\frac{3}{2}) + 1 = 3 + 1 = 4 $.

Подставляем в интеграл:

$ \int_{1/2}^{3/2} (2x + 1)^3 dx = \int_{2}^{4} u^3 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_{2}^{4} u^3 du $.

Теперь находим первообразную и применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \frac{1}{2} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{2}^{4} = \frac{1}{8} [u^4]_{2}^{4} = \frac{1}{8} (4^4 - 2^4) = \frac{1}{8} (256 - 16) = \frac{240}{8} = 30 $.

Ответ: $30$.

3.14. 2) Для вычисления интеграла $ \int_{-2}^{0} (3 - \frac{x}{2})^2 dx $, сначала раскроем квадрат подынтегральной функции по формуле квадрата разности:

$ (3 - \frac{x}{2})^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot \frac{x}{2} + (\frac{x}{2})^2 = 9 - 3x + \frac{x^2}{4} $.

Теперь интегрируем полученное выражение:

$ \int_{-2}^{0} (9 - 3x + \frac{x^2}{4}) dx = \left[ 9x - 3\frac{x^2}{2} + \frac{1}{4}\frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{0} = \left[ 9x - \frac{3}{2}x^2 + \frac{x^3}{12} \right]_{-2}^{0} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница, подставляя пределы интегрирования:

$ (9 \cdot 0 - \frac{3}{2} \cdot 0^2 + \frac{0^3}{12}) - (9(-2) - \frac{3}{2}(-2)^2 + \frac{(-2)^3}{12}) = 0 - (-18 - \frac{3}{2} \cdot 4 - \frac{8}{12}) = -(-18 - 6 - \frac{2}{3}) = -(-24 - \frac{2}{3}) = 24 + \frac{2}{3} = \frac{72+2}{3} = \frac{74}{3} $.

Ответ: $\frac{74}{3}$.

3.14. 3) Вычислим интеграл $ \int_{0}^{1/3} (3x - 2)^3 dx $.

Для нахождения первообразной воспользуемся формулой $ \int (ax+b)^n dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + C $.

Первообразная для $ (3x - 2)^3 $ равна:

$ \frac{(3x - 2)^{3+1}}{3 \cdot (3+1)} = \frac{(3x - 2)^4}{12} $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \left[ \frac{(3x - 2)^4}{12} \right]_{0}^{1/3} = \frac{(3 \cdot \frac{1}{3} - 2)^4}{12} - \frac{(3 \cdot 0 - 2)^4}{12} = \frac{(1 - 2)^4}{12} - \frac{(-2)^4}{12} = \frac{(-1)^4}{12} - \frac{16}{12} = \frac{1}{12} - \frac{16}{12} = -\frac{15}{12} = -\frac{5}{4} $.

Ответ: $-\frac{5}{4}$.

3.14. 4) Вычислим интеграл $ \int_{-4}^{0} (5 + \frac{x}{4})^2 dx $.

Применим метод замены переменной. Пусть $ u = 5 + \frac{x}{4} $. Тогда $ du = \frac{1}{4} dx $, откуда $ dx = 4 du $.

Найдем новые пределы интегрирования:

при $ x = -4 $, $ u = 5 + \frac{-4}{4} = 5 - 1 = 4 $;

при $ x = 0 $, $ u = 5 + \frac{0}{4} = 5 $.

Интеграл принимает вид:

$ \int_{4}^{5} u^2 \cdot 4 du = 4 \int_{4}^{5} u^2 du $.

Находим первообразную и вычисляем по формуле Ньютона-Лейбница:

$ 4 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{4}^{5} = \frac{4}{3} [u^3]_{4}^{5} = \frac{4}{3} (5^3 - 4^3) = \frac{4}{3} (125 - 64) = \frac{4}{3} \cdot 61 = \frac{244}{3} $.

Ответ: $\frac{244}{3}$.

3.15. 1) $\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2};$

2) $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2};$

3) $\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0,5x+1)^4};$

4) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0,2x)^5}.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2}$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ является первообразной для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \frac{1}{(x-2)^2} = (x-2)^{-2}$.

$F(x) = \int (x-2)^{-2} dx = \frac{(x-2)^{-2+1}}{-2+1} = \frac{(x-2)^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x-2}$.

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:

$\int_{3}^{4} \frac{dx}{(x-2)^2} = \left. -\frac{1}{x-2} \right|_{3}^{4} = \left(-\frac{1}{4-2}\right) - \left(-\frac{1}{3-2}\right) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

2) Вычислим интеграл $\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2}$.

Найдем первообразную для функции $f(x) = \frac{1}{(x+3)^2} = (x+3)^{-2}$.

$F(x) = \int (x+3)^{-2} dx = \frac{(x+3)^{-2+1}}{-2+1} = -\frac{1}{x+3}$.

Применим формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-2}^{-1} \frac{dx}{(x+3)^2} = \left. -\frac{1}{x+3} \right|_{-2}^{-1} = \left(-\frac{1}{-1+3}\right) - \left(-\frac{1}{-2+3}\right) = -\frac{1}{2} - (-1) = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

3) Вычислим интеграл $\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0.5x+1)^4}$.

Найдем первообразную для $f(x) = (0.5x+1)^{-4}$. Используем формулу $\int (ax+b)^n dx = \frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1} + C$.

Здесь $a = 0.5$, $b=1$, $n=-4$.

$F(x) = \frac{1}{0.5} \frac{(0.5x+1)^{-4+1}}{-4+1} = 2 \cdot \frac{(0.5x+1)^{-3}}{-3} = -\frac{2}{3(0.5x+1)^3}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{2} \frac{dx}{(0.5x+1)^4} = \left. -\frac{2}{3(0.5x+1)^3} \right|_{0}^{2} = \left(-\frac{2}{3(0.5 \cdot 2+1)^3}\right) - \left(-\frac{2}{3(0.5 \cdot 0+1)^3}\right)$

$= \left(-\frac{2}{3(1+1)^3}\right) - \left(-\frac{2}{3(1)^3}\right) = -\frac{2}{3 \cdot 2^3} + \frac{2}{3} = -\frac{2}{24} + \frac{2}{3} = -\frac{1}{12} + \frac{8}{12} = \frac{7}{12}$.

Ответ: $\frac{7}{12}$

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0.2x)^5}$.

Найдем первообразную для $f(x) = (2-0.2x)^{-5}$.

Здесь $a = -0.2$, $b=2$, $n=-5$.

$F(x) = \frac{1}{-0.2} \frac{(2-0.2x)^{-5+1}}{-5+1} = -5 \cdot \frac{(2-0.2x)^{-4}}{-4} = \frac{5}{4(2-0.2x)^4}$.

Подставим пределы интегрирования:

$\int_{0}^{5} \frac{dx}{(2-0.2x)^5} = \left. \frac{5}{4(2-0.2x)^4} \right|_{0}^{5} = \left(\frac{5}{4(2-0.2 \cdot 5)^4}\right) - \left(\frac{5}{4(2-0.2 \cdot 0)^4}\right)$

$= \left(\frac{5}{4(2-1)^4}\right) - \left(\frac{5}{4(2)^4}\right) = \frac{5}{4 \cdot 1^4} - \frac{5}{4 \cdot 16} = \frac{5}{4} - \frac{5}{64} = \frac{80}{64} - \frac{5}{64} = \frac{75}{64}$.

Ответ: $\frac{75}{64}$