Номер 3.9, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.9. 1) $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin \left(x - \frac{\pi}{3}\right) dx;$

2) $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \left(x + \frac{\pi}{6}\right) dx;$

3) $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2 \left(x - \frac{\pi}{4}\right)} dx;$

4) $\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{3}{\sin^2 \left(x + \frac{\pi}{4}\right)} dx.$

1) Для вычисления определенного интеграла $\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx$ воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = \sin(x - \frac{\pi}{3})$.

Первообразная для $\sin(u)$ есть $-\cos(u)$. В нашем случае, если сделать замену $u = x - \frac{\pi}{3}$, то $du = dx$. Поэтому $F(x) = -\cos(x - \frac{\pi}{3})$.

Теперь вычислим значение интеграла, подставив пределы интегрирования:

$\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \sin(x - \frac{\pi}{3}) dx = [-\cos(x - \frac{\pi}{3})]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = (-\cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3})) - (-\cos(\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3})) = -\cos(0) + \cos(-\frac{\pi}{6})$.

Так как $\cos(0) = 1$ и функция косинуса четная, $\cos(-\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$-1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

2) Вычислим интеграл $\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x + \frac{\pi}{6}) dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = \cos(x + \frac{\pi}{6})$.

Первообразная для $\cos(u)$ есть $\sin(u)$. Здесь $u = x + \frac{\pi}{6}$, следовательно, $F(x) = \sin(x + \frac{\pi}{6})$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x + \frac{\pi}{6}) dx = [\sin(x + \frac{\pi}{6})]_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) - \sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6})$.

Вычисляем значения синусов:

$\sin(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{4\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

$\sin(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = \sin(\frac{2\pi + \pi}{6}) = \sin(\frac{3\pi}{6}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Подставляем найденные значения:

$\frac{\sqrt{3}}{2} - 1 = \frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3} - 2}{2}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})}$.

Первообразная для $\frac{1}{\cos^2(u)}$ есть $\tan(u)$. В нашем случае $u = x - \frac{\pi}{4}$, поэтому $F(x) = 2\tan(x - \frac{\pi}{4})$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{2}{\cos^2(x - \frac{\pi}{4})} dx = [2\tan(x - \frac{\pi}{4})]_{-\frac{\pi}{2}}^{0} = 2\tan(0 - \frac{\pi}{4}) - 2\tan(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4})$.

Вычисляем значения тангенсов:

$2\tan(-\frac{\pi}{4}) = 2(-1) = -2$.

$2\tan(-\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{4}) = 2\tan(-\frac{3\pi}{4}) = 2\tan(-\frac{3\pi}{4} + \pi) = 2\tan(\frac{\pi}{4}) = 2(1) = 2$.

Подставляем найденные значения:

$-2 - 2 = -4$.

Ответ: $-4$.

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} dx$.

Найдем первообразную для $f(x) = \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

Первообразная для $\frac{1}{\sin^2(u)}$ есть $-\cot(u)$. В нашем случае $u = x + \frac{\pi}{4}$, поэтому $F(x) = -3\cot(x + \frac{\pi}{4})$.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{3}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} dx = [-3\cot(x + \frac{\pi}{4})]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = (-3\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4})) - (-3\cot(0 + \frac{\pi}{4}))$.

Вычисляем значения котангенсов:

$-3\cot(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4}) = -3\cot(\frac{\pi}{2}) = -3 \cdot 0 = 0$.

$-3\cot(0 + \frac{\pi}{4}) = -3\cot(\frac{\pi}{4}) = -3 \cdot 1 = -3$.

Подставляем найденные значения:

$0 - (-3) = 3$.

Ответ: $3$.