Номер 3.13, страница 28 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.13. При каких значениях x выполняется равенство:

1) $\int_{-1}^{x} 3t^2 dt = 2;$

2) $\int_{x}^{1} 4tdt = 2;$

3) $\int_{0}^{x} 15t^4 dt = 96;$

4) $\int_{x}^{0} 9t^2 dt = 3?$

1) Чтобы найти значение $x$, при котором выполняется равенство $ \int_{-1}^{x} 3t^2 dt = 2 $, необходимо сначала вычислить определенный интеграл.

Первообразная для функции $ f(t) = 3t^2 $ находится по формуле $ \int t^n dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} $. Получаем $ F(t) = 3 \cdot \frac{t^3}{3} = t^3 $.

Далее применяем формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(t) dt = F(b) - F(a) $:

$ \int_{-1}^{x} 3t^2 dt = [t^3]_{-1}^{x} = x^3 - (-1)^3 = x^3 - (-1) = x^3 + 1 $.

Теперь решаем полученное уравнение:

$ x^3 + 1 = 2 $

$ x^3 = 2 - 1 $

$ x^3 = 1 $

$ x = 1 $.

Ответ: $x = 1$.

2) Решим уравнение $ \int_{x}^{1} 4t dt = 2 $.

Находим первообразную для $ f(t) = 4t $:

$ F(t) = \int 4t dt = 4 \cdot \frac{t^2}{2} = 2t^2 $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{1} 4t dt = [2t^2]_{x}^{1} = 2 \cdot 1^2 - 2 \cdot x^2 = 2 - 2x^2 $.

Составляем и решаем уравнение:

$ 2 - 2x^2 = 2 $

$ -2x^2 = 0 $

$ x^2 = 0 $

$ x = 0 $.

Ответ: $x = 0$.

3) Решим уравнение $ \int_{0}^{x} 15t^4 dt = 96 $.

Находим первообразную для $ f(t) = 15t^4 $:

$ F(t) = \int 15t^4 dt = 15 \cdot \frac{t^5}{5} = 3t^5 $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{0}^{x} 15t^4 dt = [3t^5]_{0}^{x} = 3x^5 - 3 \cdot 0^5 = 3x^5 $.

Составляем и решаем уравнение:

$ 3x^5 = 96 $

$ x^5 = \frac{96}{3} $

$ x^5 = 32 $

$ x = \sqrt[5]{32} $

$ x = 2 $.

Ответ: $x = 2$.

4) Решим уравнение $ \int_{x}^{0} 9t^2 dt = 3 $.

Находим первообразную для $ f(t) = 9t^2 $:

$ F(t) = \int 9t^2 dt = 9 \cdot \frac{t^3}{3} = 3t^3 $.

Применяем формулу Ньютона-Лейбница:

$ \int_{x}^{0} 9t^2 dt = [3t^3]_{x}^{0} = 3 \cdot 0^3 - 3x^3 = -3x^3 $.

Составляем и решаем уравнение:

$ -3x^3 = 3 $

$ x^3 = \frac{3}{-3} $

$ x^3 = -1 $

$ x = \sqrt[3]{-1} $

$ x = -1 $.

Ответ: $x = -1$.