Номер 3.19, страница 29 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

3.19. 1) $\int_2^6 \frac{dx}{\sqrt{3x - 2}}$;

2) $\int_4^7 \frac{dx}{\sqrt{3x + 4}}$;

3) $\int_4^{20} \frac{dx}{2 \cdot \sqrt{\frac{x}{2} - 1}}$;

4) $\int_0^9 \frac{dx}{4 \cdot \sqrt{\frac{x}{3} + 1}}$.

1) Для вычисления интеграла $\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}}$ воспользуемся методом замены переменной. Пусть $t = 3x - 2$. Тогда дифференциал $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$. Найдем новые пределы интегрирования. Если $x = 2$, то $t = 3(2) - 2 = 4$. Если $x = 6$, то $t = 3(6) - 2 = 16$. Подставим новую переменную и новые пределы в исходный интеграл:$\int_{2}^{6} \frac{dx}{\sqrt{3x-2}} = \int_{4}^{16} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{4}^{16} t^{-1/2} dt$.Теперь найдем первообразную:$\frac{1}{3} \left[ \frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1} \right]_{4}^{16} = \frac{1}{3} \left[ \frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right]_{4}^{16} = \frac{1}{3} [2\sqrt{t}]_{4}^{16}$.Подставим пределы интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница:$\frac{2}{3} (\sqrt{16} - \sqrt{4}) = \frac{2}{3} (4 - 2) = \frac{2}{3} \cdot 2 = \frac{4}{3}$.

Ответ: $\frac{4}{3}$.

2) Для вычисления интеграла $\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}}$ применим метод замены переменной. Пусть $t = 3x + 4$. Тогда $dt = 3dx$, откуда $dx = \frac{dt}{3}$. Найдем новые пределы интегрирования. Если $x = 4$, то $t = 3(4) + 4 = 16$. Если $x = 7$, то $t = 3(7) + 4 = 25$. Выполним подстановку:$\int_{4}^{7} \frac{dx}{\sqrt{3x+4}} = \int_{16}^{25} \frac{1}{\sqrt{t}} \frac{dt}{3} = \frac{1}{3} \int_{16}^{25} t^{-1/2} dt$.Найдем первообразную и вычислим определенный интеграл:$\frac{1}{3} [2\sqrt{t}]_{16}^{25} = \frac{2}{3} (\sqrt{25} - \sqrt{16}) = \frac{2}{3} (5 - 4) = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$.

3) Вычислим интеграл $\int_{4}^{20} \frac{dx}{2\sqrt{\frac{x}{2}-1}}$. Вынесем константу за знак интеграла: $\frac{1}{2} \int_{4}^{20} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{2}-1}}$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{2} - 1$. Тогда $dt = \frac{1}{2}dx$, откуда $dx = 2dt$. Новые пределы интегрирования: если $x = 4$, то $t = \frac{4}{2} - 1 = 1$. Если $x = 20$, то $t = \frac{20}{2} - 1 = 9$. Подставляем в интеграл:$\frac{1}{2} \int_{1}^{9} \frac{2dt}{\sqrt{t}} = \int_{1}^{9} t^{-1/2} dt$.Вычисляем интеграл:$[2\sqrt{t}]_{1}^{9} = 2\sqrt{9} - 2\sqrt{1} = 2(3) - 2(1) = 6 - 2 = 4$.

Ответ: $4$.

4) Вычислим интеграл $\int_{0}^{9} \frac{dx}{4\sqrt{\frac{x}{3}+1}}$. Вынесем константу $\frac{1}{4}$ за знак интеграла: $\frac{1}{4} \int_{0}^{9} \frac{dx}{\sqrt{\frac{x}{3}+1}}$. Сделаем замену переменной: пусть $t = \frac{x}{3} + 1$. Тогда $dt = \frac{1}{3}dx$, откуда $dx = 3dt$. Новые пределы интегрирования: если $x = 0$, то $t = \frac{0}{3} + 1 = 1$. Если $x = 9$, то $t = \frac{9}{3} + 1 = 3 + 1 = 4$. Выполним подстановку:$\frac{1}{4} \int_{1}^{4} \frac{3dt}{\sqrt{t}} = \frac{3}{4} \int_{1}^{4} t^{-1/2} dt$.Вычисляем интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:$\frac{3}{4} [2\sqrt{t}]_{1}^{4} = \frac{3}{2} [\sqrt{t}]_{1}^{4} = \frac{3}{2} (\sqrt{4} - \sqrt{1}) = \frac{3}{2} (2 - 1) = \frac{3}{2}$.

Ответ: $\frac{3}{2}$.