Вопросы, страница 34 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. В каких случаях площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла?

2. Может ли плоская фигура состоять только из криволинейных трапеций? Обоснуйте ответ.

1. В каких случаях площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла?

Площадь плоской фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла в случаях, когда фигура или ее части могут быть представлены как криволинейные трапеции. Геометрический смысл определенного интеграла — это площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим основные случаи:

а) Площадь криволинейной трапеции.

Если фигура является криволинейной трапецией, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $y = f(x)$ (где $f(x) \ge 0$) на отрезке $[a, b]$, осью абсцисс ($Ox$) и прямыми $x = a$ и $x = b$, то ее площадь $S$ вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = \int_a^b f(x) \,dx$.

б) Фигура ограничена кривой, которая может принимать отрицательные значения.

Если функция $y = f(x)$ может быть отрицательной на отрезке $[a, b]$, то площадь фигуры, ограниченной графиком этой функции, осью $Ox$ и прямыми $x = a$ и $x = b$, вычисляется как интеграл от модуля функции:

$S = \int_a^b |f(x)| \,dx$.

На практике это означает, что для участков, где $f(x) < 0$, интеграл берется со знаком минус, чтобы площадь была положительной величиной.

в) Площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми.

Это наиболее общий случай. Если фигура ограничена сверху графиком функции $y = f(x)$, снизу — графиком функции $y = g(x)$ (где $f(x) \ge g(x)$ на отрезке $[a, b]$), и прямыми $x = a$ и $x = b$, то ее площадь вычисляется как разность интегралов:

$S = \int_a^b (f(x) - g(x)) \,dx$.

Эта формула универсальна и включает в себя первый случай, если положить $g(x) = 0$.

Таким образом, определенный интеграл является мощным инструментом для нахождения площадей фигур, ограниченных различными кривыми.

Ответ: Площадь фигуры вычисляется с помощью определенного интеграла, когда эта фигура является криволинейной трапецией или может быть представлена как сумма или разность криволинейных трапеций, то есть когда она ограничена графиками функций и, возможно, вертикальными прямыми.

2. Может ли плоская фигура состоять только из криволинейных трапеций? Обоснуйте ответ.

Ответ на этот вопрос зависит от того, как трактовать фразу "состоять только из".

С одной стороны, если рассматривать саму криволинейную трапецию как фигуру, то ответ — нет. По определению, криволинейная трапеция — это фигура, ограниченная графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и двумя вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$. Таким образом, три из четырех границ этой фигуры являются отрезками прямых линий. Следовательно, сама криволинейная трапеция не может состоять "только" из кривых; в ее границах обязательно присутствуют прямолинейные участки.

С другой стороны, если понимать вопрос как "может ли фигура быть составлена из криволинейных трапеций так, чтобы ее итоговая граница была полностью криволинейной?", то ответ — да.

Обоснование: Можно составить фигуру из нескольких криволинейных трапеций таким образом, что их прямолинейные границы окажутся внутри новой, составной фигуры и не будут являться ее внешними границами.

Например, рассмотрим круг радиуса $R$ с центром в начале координат, заданный неравенством $x^2 + y^2 \le R^2$. Его граница — окружность — является кривой линией. Этот круг можно представить как объединение двух фигур:

1. Верхний полукруг — это криволинейная трапеция, ограниченная сверху функцией $y = \sqrt{R^2 - x^2}$, снизу — осью $Ox$ на отрезке $[-R, R]$.

2. Нижний полукруг — фигура, ограниченная снизу функцией $y = -\sqrt{R^2 - x^2}$ и сверху — осью $Ox$ на том же отрезке. Эту фигуру также можно рассматривать как криволинейную трапецию (с "отрицательной" высотой).

Когда мы объединяем эти две фигуры, их общая прямолинейная граница (отрезок оси $Ox$ от $-R$ до $R$) оказывается внутри круга, а внешняя граница итоговой фигуры — это окружность $x^2 + y^2 = R^2$, которая не имеет прямолинейных участков.

Таким образом, фигура (круг), граница которой полностью криволинейна, может быть составлена из двух криволинейных трапеций.

Ответ: Да, плоская фигура может быть составлена из криволинейных трапеций таким образом, что ее итоговая граница будет полностью криволинейной, хотя сами по себе криволинейные трапеции имеют в своих границах прямолинейные отрезки.