Номер 4.7, страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.7. 1) Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{2}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 3$ вокруг оси абсцисс.

2) Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{3}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

1) Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае нам дана функция $y = \frac{2}{x}$ и пределы интегрирования от $x = 1$ до $x = 3$.

Подставляем эти значения в формулу: $V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{2}{x}\right)^2 dx$

Упростим подынтегральное выражение: $V = \pi \int_{1}^{3} \frac{4}{x^2} dx = 4\pi \int_{1}^{3} x^{-2} dx$

Найдем первообразную для $x^{-2}$: $\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $V = 4\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = 4\pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = 4\pi \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = 4\pi \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{8\pi}{3}$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$

2) Используем ту же формулу для нахождения объема тела вращения.

В этом случае функция $y = \frac{3}{x}$, а пределы интегрирования от $x = 1$ до $x = 2$.

Подставляем значения в формулу: $V = \pi \int_{1}^{2} \left(\frac{3}{x}\right)^2 dx$

Упрощаем и вычисляем интеграл: $V = \pi \int_{1}^{2} \frac{9}{x^2} dx = 9\pi \int_{1}^{2} x^{-2} dx$

Используя найденную ранее первообразную, применяем формулу Ньютона-Лейбница: $V = 9\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = 9\pi \left( \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = 9\pi \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = 9\pi \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{9\pi}{2}$

Ответ: $\frac{9\pi}{2}$