Страница 35 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

4.6. Найдите объем тела, полученного при вращении параболы $y = 3x^2$ от точки $x = 1$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

4.6. Для нахождения объема тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс (оси Ox) криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y = f(x)$, осью Ox и прямыми $x=a$ и $x=b$, используется формула:

$V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В нашем случае заданы следующие условия:

- Функция: $y = 3x^2$

- Пределы интегрирования: от $x = 1$ до $x = 2$, что означает $a = 1$ и $b = 2$.

Сначала найдем квадрат функции $y = f(x)$:

$[f(x)]^2 = (3x^2)^2 = 9x^4$

Теперь подставим полученное выражение и пределы интегрирования в формулу для вычисления объема:

$V = \pi \int_{1}^{2} 9x^4 dx$

Вынесем постоянный множитель $9\pi$ за знак интеграла:

$V = 9\pi \int_{1}^{2} x^4 dx$

Далее вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница. Первообразная для $x^4$ равна $\frac{x^5}{5}$.

$V = 9\pi \left[ \frac{x^5}{5} \right]_{1}^{2}$

Подставим верхний и нижний пределы интегрирования:

$V = 9\pi \left( \frac{2^5}{5} - \frac{1^5}{5} \right)$

Произведем окончательные вычисления:

$V = 9\pi \left( \frac{32}{5} - \frac{1}{5} \right) = 9\pi \left( \frac{32 - 1}{5} \right) = 9\pi \left( \frac{31}{5} \right) = \frac{279\pi}{5}$

Ответ: $\frac{279\pi}{5}$.

4.7. 1) Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{2}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 3$ вокруг оси абсцисс.

2) Найдите объем тела, полученного при вращении гиперболы $y = \frac{3}{x}$ от точки $x = 1$ до точки $x = 2$ вокруг оси абсцисс.

1) Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции $y=f(x)$, осью абсцисс и прямыми $x=a$ и $x=b$, вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле: $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 dx$

В данном случае нам дана функция $y = \frac{2}{x}$ и пределы интегрирования от $x = 1$ до $x = 3$.

Подставляем эти значения в формулу: $V = \pi \int_{1}^{3} \left(\frac{2}{x}\right)^2 dx$

Упростим подынтегральное выражение: $V = \pi \int_{1}^{3} \frac{4}{x^2} dx = 4\pi \int_{1}^{3} x^{-2} dx$

Найдем первообразную для $x^{-2}$: $\int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x}$.

Теперь вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: $V = 4\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{3} = 4\pi \left( \left(-\frac{1}{3}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = 4\pi \left( -\frac{1}{3} + 1 \right) = 4\pi \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{8\pi}{3}$

Ответ: $\frac{8\pi}{3}$

2) Используем ту же формулу для нахождения объема тела вращения.

В этом случае функция $y = \frac{3}{x}$, а пределы интегрирования от $x = 1$ до $x = 2$.

Подставляем значения в формулу: $V = \pi \int_{1}^{2} \left(\frac{3}{x}\right)^2 dx$

Упрощаем и вычисляем интеграл: $V = \pi \int_{1}^{2} \frac{9}{x^2} dx = 9\pi \int_{1}^{2} x^{-2} dx$

Используя найденную ранее первообразную, применяем формулу Ньютона-Лейбница: $V = 9\pi \left[ -\frac{1}{x} \right]_{1}^{2} = 9\pi \left( \left(-\frac{1}{2}\right) - \left(-\frac{1}{1}\right) \right) = 9\pi \left( -\frac{1}{2} + 1 \right) = 9\pi \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{9\pi}{2}$

Ответ: $\frac{9\pi}{2}$

4.8. Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями:

1) $y = \cos x, y = \sin x, x = \frac{\pi}{4}, x = \frac{\pi}{2};$

2) $y = 2\cos x, y = 2\sin x, x = 0, x = \frac{\pi}{4};$

3) $y = x, y = \frac{1}{x^2}, x = 2;$

4) $y = \frac{2}{x^2}, y = 2x, x = \frac{1}{2}.$

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = \cos x$, $y = \sin x$, $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{\pi}{2}$, необходимо вычислить определенный интеграл. Площадь $S$ фигуры, ограниченной кривыми $y = f_1(x)$ и $y = f_2(x)$ на отрезке $[a, b]$, где $f_2(x) \ge f_1(x)$, вычисляется по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (f_2(x) - f_1(x)) \,dx$.

На интервале $[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}]$ выполняется неравенство $\sin x \ge \cos x$. Например, при $x = \frac{\pi}{3}$, $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$. Точка пересечения графиков $x = \frac{\pi}{4}$.

Следовательно, искомая площадь равна:

$S = \int_{\pi/4}^{\pi/2} (\sin x - \cos x) \,dx$.

Найдем первообразную для подынтегральной функции:

$\int (\sin x - \cos x) \,dx = -\cos x - \sin x$.

Теперь вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

$S = [-\cos x - \sin x]_{\pi/4}^{\pi/2} = (-\cos(\frac{\pi}{2}) - \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(\frac{\pi}{4}) - \sin(\frac{\pi}{4})) = (0 - 1) - (-\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}) = -1 - (-\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$.

Ответ: $\sqrt{2}-1$.

2) Фигура ограничена линиями $y = 2\cos x$, $y = 2\sin x$, $x = 0$ и $x = \frac{\pi}{4}$.

На интервале $[0, \frac{\pi}{4}]$ выполняется неравенство $\cos x \ge \sin x$, следовательно, $2\cos x \ge 2\sin x$. Например, при $x = 0$, $2\cos(0) = 2$, а $2\sin(0) = 0$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{0}^{\pi/4} (2\cos x - 2\sin x) \,dx = 2 \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x) \,dx$.

Найдем первообразную:

$\int (\cos x - \sin x) \,dx = \sin x - (-\cos x) = \sin x + \cos x$.

Вычислим интеграл:

$S = 2 [\sin x + \cos x]_{0}^{\pi/4} = 2 ((\sin(\frac{\pi}{4}) + \cos(\frac{\pi}{4})) - (\sin(0) + \cos(0))) = 2 ((\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) - (0 + 1)) = 2 (\sqrt{2} - 1)$.

Ответ: $2(\sqrt{2}-1)$.

3) Фигура ограничена линиями $y = x$, $y = \frac{1}{x^2}$ и $x = 2$.

Сначала найдем точку пересечения графиков $y=x$ и $y=\frac{1}{x^2}$ для определения пределов интегрирования:

$x = \frac{1}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Таким образом, фигура ограничена слева прямой $x=1$, а справа прямой $x=2$.

На интервале $[1, 2]$ выполняется неравенство $x \ge \frac{1}{x^2}$. Например, при $x=2$, $y=2$ и $y=\frac{1}{4}$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{1}^{2} (x - \frac{1}{x^2}) \,dx = \int_{1}^{2} (x - x^{-2}) \,dx$.

Найдем первообразную:

$\int (x - x^{-2}) \,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^{-1}}{-1} = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}$.

Вычислим интеграл:

$S = [\frac{x^2}{2} + \frac{1}{x}]_{1}^{2} = (\frac{2^2}{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1^2}{2} + \frac{1}{1}) = (\frac{4}{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{1}{2} + 1) = \frac{5}{2} - \frac{3}{2} = \frac{2}{2} = 1$.

Ответ: 1.

4) Фигура ограничена линиями $y = \frac{2}{x^2}$, $y = 2x$ и $x = \frac{1}{2}$.

Найдем точку пересечения графиков $y=2x$ и $y=\frac{2}{x^2}$:

$2x = \frac{2}{x^2} \implies x^3 = 1 \implies x = 1$.

Фигура ограничена прямыми $x=\frac{1}{2}$ и $x=1$.

На интервале $[\frac{1}{2}, 1]$ выполняется неравенство $\frac{2}{x^2} \ge 2x$. Например, при $x=\frac{1}{2}$, $y=\frac{2}{(1/2)^2} = 8$, а $y=2(\frac{1}{2}) = 1$.

Площадь вычисляется по формуле:

$S = \int_{1/2}^{1} (\frac{2}{x^2} - 2x) \,dx = \int_{1/2}^{1} (2x^{-2} - 2x) \,dx$.

Найдем первообразную:

$\int (2x^{-2} - 2x) \,dx = 2\frac{x^{-1}}{-1} - 2\frac{x^2}{2} = -\frac{2}{x} - x^2$.

Вычислим интеграл:

$S = [-\frac{2}{x} - x^2]_{1/2}^{1} = (-\frac{2}{1} - 1^2) - (-\frac{2}{1/2} - (\frac{1}{2})^2) = (-2 - 1) - (-4 - \frac{1}{4}) = -3 - (-\frac{17}{4}) = -3 + \frac{17}{4} = \frac{-12+17}{4} = \frac{5}{4}$.

Ответ: $\frac{5}{4}$.

4.9. Вычислите площадь плоской фигуры, ограниченной:

1) графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке $(-1; -2)$ и прямой $x=1$;

2) прямой $y = 0$, параболой $y = 2x - x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

1)

Вычислим площадь фигуры, ограниченной графиком функции $y = 2x^3$, касательной к этому графику в точке $(-1; -2)$ и прямой $x=1$.

Сначала найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = 2x^3$ в точке $x_0 = -1$.

Уравнение касательной имеет вид $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Найдем производную функции:

$f'(x) = (2x^3)' = 6x^2$.

Вычислим значения функции и ее производной в точке касания $x_0 = -1$:

$f(-1) = 2(-1)^3 = -2$.

$f'(-1) = 6(-1)^2 = 6$.

Подставим эти значения в уравнение касательной:

$y = -2 + 6(x - (-1))$

$y = -2 + 6(x + 1)$

$y = 6x + 4$.

Таким образом, фигура ограничена линиями $y = 2x^3$, $y = 6x + 4$ и $x=1$. Точка касания находится при $x=-1$, поэтому пределы интегрирования будут от $-1$ до $1$.

Площадь фигуры вычисляется как интеграл от разности верхней и нижней функций. Определим, какая из функций, $y_1 = 2x^3$ или $y_2 = 6x + 4$, является верхней на интервале $[-1, 1]$.

Рассмотрим разность $g(x) = y_2 - y_1 = (6x + 4) - 2x^3 = -2x^3 + 6x + 4$.

Вторая производная функции $f(x) = 2x^3$ равна $f''(x) = 12x$. В точке $x_0=-1$ имеем $f''(-1)=-12<0$, что означает, что функция является вогнутой (выпуклой вверх), и ее график лежит ниже касательной в окрестности точки касания. Следовательно, на интервале $[-1, 1]$ касательная $y=6x+4$ является верхней границей, а кривая $y=2x^3$ - нижней.

Площадь $S$ равна:

$S = \int_{-1}^{1} ((6x + 4) - 2x^3) dx = \int_{-1}^{1} (-2x^3 + 6x + 4) dx$.

Вычислим интеграл:

$S = \left[ -2\frac{x^4}{4} + 6\frac{x^2}{2} + 4x \right]_{-1}^{1} = \left[ -\frac{1}{2}x^4 + 3x^2 + 4x \right]_{-1}^{1}$.

$S = \left(-\frac{1}{2}(1)^4 + 3(1)^2 + 4(1)\right) - \left(-\frac{1}{2}(-1)^4 + 3(-1)^2 + 4(-1)\right)$

$S = \left(-\frac{1}{2} + 3 + 4\right) - \left(-\frac{1}{2} + 3 - 4\right)$

$S = \left(7 - \frac{1}{2}\right) - \left(-1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{13}{2} - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{13+3}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Ответ: $8$.

2)

Вычислим площадь фигуры, ограниченной прямой $y=0$, параболой $y=2x-x^2$ и касательной, проведенной к этой параболе в точке $(\frac{1}{2}; \frac{3}{4})$.

Сначала найдем уравнение касательной к параболе $f(x) = 2x - x^2$ в точке $x_0 = \frac{1}{2}$.

Уравнение касательной: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Производная функции: $f'(x) = (2x - x^2)' = 2 - 2x$.

Значения функции и производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{2}$:

$f(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) - (\frac{1}{2})^2 = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

$f'(\frac{1}{2}) = 2 - 2(\frac{1}{2}) = 2 - 1 = 1$.

Уравнение касательной:

$y = \frac{3}{4} + 1(x - \frac{1}{2}) = x + \frac{3}{4} - \frac{1}{2} = x + \frac{1}{4}$.

Итак, фигура ограничена тремя линиями: параболой $y_p = 2x-x^2$, касательной $y_t = x + \frac{1}{4}$ и осью абсцисс $y_0 = 0$.

Найдем точки пересечения этих линий, чтобы определить границы искомой фигуры.

1. Пересечение касательной и оси Ox: $x + \frac{1}{4} = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{4}$. Точка A$(-\frac{1}{4}, 0)$.

2. Пересечение параболы и оси Ox: $2x-x^2 = 0 \Rightarrow x(2-x)=0 \Rightarrow x=0, x=2$. Точка B$(0, 0)$.

3. Пересечение касательной и параболы: $x + \frac{1}{4} = 2x-x^2 \Rightarrow x^2-x+\frac{1}{4}=0 \Rightarrow (x-\frac{1}{2})^2=0 \Rightarrow x=\frac{1}{2}$. Точка касания C$(\frac{1}{2}, \frac{3}{4})$.

Фигура представляет собой замкнутую область, ограниченную отрезком оси Ox от точки A до B, дугой параболы от B до C и отрезком касательной от C до A. Площадь этой фигуры можно найти, разбив ее на две части по оси Oy ($x=0$).

Первая часть ($S_1$) - это область в интервале $x \in [-\frac{1}{4}, 0]$, ограниченная сверху касательной $y = x + \frac{1}{4}$ и снизу осью Ox $y=0$.

$S_1 = \int_{-1/4}^{0} \left(x + \frac{1}{4}\right) dx = \left[\frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\right]_{-1/4}^{0} = 0 - \left(\frac{(-1/4)^2}{2} + \frac{-1/4}{4}\right) = -\left(\frac{1}{32} - \frac{2}{32}\right) = -\left(-\frac{1}{32}\right) = \frac{1}{32}$.

Вторая часть ($S_2$) - это область в интервале $x \in [0, \frac{1}{2}]$, ограниченная сверху касательной $y = x + \frac{1}{4}$ и снизу параболой $y = 2x-x^2$.

$S_2 = \int_{0}^{1/2} \left(\left(x + \frac{1}{4}\right) - (2x-x^2)\right) dx = \int_{0}^{1/2} (x^2 - x + \frac{1}{4}) dx$.

$S_2 = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + \frac{x}{4}\right]_{0}^{1/2} = \left(\frac{(1/2)^3}{3} - \frac{(1/2)^2}{2} + \frac{1/2}{4}\right) - 0 = \frac{1/8}{3} - \frac{1/4}{2} + \frac{1}{8} = \frac{1}{24} - \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{24}$.

Общая площадь $S$ равна сумме площадей $S_1$ и $S_2$.

$S = S_1 + S_2 = \frac{1}{32} + \frac{1}{24} = \frac{3}{96} + \frac{4}{96} = \frac{7}{96}$.

Ответ: $\frac{7}{96}$.

Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

(4.10–4.11):

4.10. 1) $y = x^2 + 1$, $y = x + 3$;

2) $y = x^2 + 2x + 4$, $y = x + 6$;

3) $y = -x^2 + 3$, $y = 2x - 6$;

4) $y = 4 - x^2$, $y = 1 - 2x$.

1) Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 1$ и $y = x + 3$, сначала найдем точки их пересечения, приравняв выражения для $y$:

$x^2 + 1 = x + 3$

$x^2 - x - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета или через дискриминант.

$(x - 2)(x + 1) = 0$

Отсюда получаем абсциссы точек пересечения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Это будут наши пределы интегрирования.

Теперь определим, какая из функций больше на интервале $(-1, 2)$. Возьмем любую точку из этого интервала, например $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = 0^2 + 1 = 1$

Для второй функции: $y(0) = 0 + 3 = 3$

Поскольку $3 > 1$, на интервале $(-1, 2)$ график прямой $y = x + 3$ лежит выше графика параболы $y = x^2 + 1$.

Площадь фигуры вычисляется как определенный интеграл от разности верхней и нижней функций:

$S = \int_{-1}^{2} ((x + 3) - (x^2 + 1)) \,dx = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$\int (-x^2 + x + 2) \,dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x\right) \bigg|_{-1}^{2} = \left(-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1)\right)$

$S = \left(-\frac{8}{3} + 2 + 4\right) - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2\right) = \left(6 - \frac{8}{3}\right) - \left(\frac{2+3-12}{6}\right) = \frac{18-8}{3} - \left(-\frac{7}{6}\right)$

$S = \frac{10}{3} + \frac{7}{6} = \frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

2) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2 + 2x + 4$ и $y = x + 6$.

Найдем точки пересечения:

$x^2 + 2x + 4 = x + 6$

$x^2 + x - 2 = 0$

$(x + 2)(x - 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Определим, какая функция больше на интервале $(-2, 1)$. Возьмем $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = 0^2 + 2 \cdot 0 + 4 = 4$

Для второй функции: $y(0) = 0 + 6 = 6$

Поскольку $6 > 4$, график прямой $y = x + 6$ лежит выше графика параболы $y = x^2 + 2x + 4$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-2}^{1} ((x + 6) - (x^2 + 2x + 4)) \,dx = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x\right) \bigg|_{-2}^{1} = \left(-\frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} + 2 \cdot 1\right) - \left(-\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2 \cdot (-2)\right)$

$S = \left(-\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2\right) - \left(\frac{8}{3} - 2 - 4\right) = \left(\frac{-2-3+12}{6}\right) - \left(\frac{8}{3} - 6\right) = \frac{7}{6} - \left(\frac{8-18}{3}\right)$

$S = \frac{7}{6} - \left(-\frac{10}{3}\right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4.5$

Ответ: 4.5

3) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = -x^2 + 3$ и $y = 2x - 6$.

Найдем точки пересечения:

$-x^2 + 3 = 2x - 6$

$x^2 + 2x - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 4 + 36 = 40$.

Корни: $x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -1 \pm \sqrt{10}$.

Пределы интегрирования: $a = -1 - \sqrt{10}$ и $b = -1 + \sqrt{10}$.

Определим, какая функция больше на интервале $(-1 - \sqrt{10}, -1 + \sqrt{10})$. Возьмем $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = -0^2 + 3 = 3$

Для второй функции: $y(0) = 2 \cdot 0 - 6 = -6$

Поскольку $3 > -6$, график параболы $y = -x^2 + 3$ лежит выше графика прямой $y = 2x - 6$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} ((-x^2 + 3) - (2x - 6)) \,dx = \int_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}} (-x^2 - 2x + 9) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} - x^2 + 9x\right) \bigg|_{-1-\sqrt{10}}^{-1+\sqrt{10}}$

Пусть $a = -1-\sqrt{10}$ и $b = -1+\sqrt{10}$. Вычисление будет $F(b) - F(a)$.

$b-a = (-1+\sqrt{10}) - (-1-\sqrt{10}) = 2\sqrt{10}$

$b+a = (-1+\sqrt{10}) + (-1-\sqrt{10}) = -2$

$ab = (-1)^2 - (\sqrt{10})^2 = 1 - 10 = -9$

$S = -\frac{1}{3}(b^3-a^3) - (b^2-a^2) + 9(b-a)$

$b^2-a^2 = (b-a)(b+a) = (2\sqrt{10})(-2) = -4\sqrt{10}$

$b^3-a^3 = (b-a)(b^2+ab+a^2) = (b-a)((a+b)^2-ab) = 2\sqrt{10}((-2)^2 - (-9)) = 2\sqrt{10}(4+9) = 26\sqrt{10}$

$S = -\frac{1}{3}(26\sqrt{10}) - (-4\sqrt{10}) + 9(2\sqrt{10}) = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 4\sqrt{10} + 18\sqrt{10}$

$S = -\frac{26\sqrt{10}}{3} + 22\sqrt{10} = \sqrt{10}\left(22 - \frac{26}{3}\right) = \sqrt{10}\left(\frac{66-26}{3}\right) = \frac{40\sqrt{10}}{3}$

Ответ: $\frac{40\sqrt{10}}{3}$

4) Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями $y = 4 - x^2$ и $y = 1 - 2x$.

Найдем точки пересечения:

$4 - x^2 = 1 - 2x$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

Абсциссы точек пересечения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$.

Определим, какая функция больше на интервале $(-1, 3)$. Возьмем $x = 0$:

Для первой функции: $y(0) = 4 - 0^2 = 4$

Для второй функции: $y(0) = 1 - 2 \cdot 0 = 1$

Поскольку $4 > 1$, график параболы $y = 4 - x^2$ лежит выше графика прямой $y = 1 - 2x$.

Площадь фигуры:

$S = \int_{-1}^{3} ((4 - x^2) - (1 - 2x)) \,dx = \int_{-1}^{3} (-x^2 + 2x + 3) \,dx$

Вычислим интеграл:

$S = \left(-\frac{x^3}{3} + x^2 + 3x\right) \bigg|_{-1}^{3} = \left(-\frac{3^3}{3} + 3^2 + 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{(-1)^3}{3} + (-1)^2 + 3 \cdot (-1)\right)$

$S = \left(-9 + 9 + 9\right) - \left(\frac{1}{3} + 1 - 3\right) = 9 - \left(\frac{1}{3} - 2\right) = 9 - \left(\frac{1-6}{3}\right)$

$S = 9 - \left(-\frac{5}{3}\right) = 9 + \frac{5}{3} = \frac{27+5}{3} = \frac{32}{3}$

Ответ: $\frac{32}{3}$

4.11. 1) $y = x^2 - 8x + 12$, $y = -x^2 + 8x - 18$;

2) $y = x^2 + 6x + 5$, $y = x^2 - 6x - 11$;

3) $y = x^2 - 4x - 1$, $y = -x^2 - 4x + 7$;

4) $y = x^2 + 3x - 5$, $y = -x^2 + 3x - 3.

1) Чтобы найти точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 8x + 12$ и $y = -x^2 + 8x - 18$, нужно решить систему этих уравнений. Для этого приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 8x + 12 = -x^2 + 8x - 18$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 8x + 12 + x^2 - 8x + 18 = 0$

$2x^2 - 16x + 30 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы упростить его:

$x^2 - 8x + 15 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна 8, а произведение равно 15. Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = 5$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в любое из исходных уравнений. Воспользуемся первым уравнением $y = x^2 - 8x + 12$.

При $x_1 = 3$:

$y_1 = 3^2 - 8(3) + 12 = 9 - 24 + 12 = -3$

При $x_2 = 5$:

$y_2 = 5^2 - 8(5) + 12 = 25 - 40 + 12 = -3$

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(3; -3)$ и $(5; -3)$.

Ответ: $(3; -3)$, $(5; -3)$.

2) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 6x + 5$ и $y = x^2 - 6x - 11$. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 6x + 5 = x^2 - 6x - 11$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а постоянные члены — в правую. Члены с $x^2$ взаимно уничтожаются:

$6x + 6x = -11 - 5$

$12x = -16$

Решим линейное уравнение относительно $x$:

$x = -16/12 = -4/3$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = -4/3$ в первое уравнение $y = x^2 + 6x + 5$:

$y = (-4/3)^2 + 6(-4/3) + 5 = 16/9 - 24/3 + 5 = 16/9 - 72/9 + 45/9 = (16 - 72 + 45)/9 = -11/9$

Таким образом, графики пересекаются в одной точке с координатами $(-4/3; -11/9)$.

Ответ: $(-4/3; -11/9)$.

3) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 - 4x - 1$ и $y = -x^2 - 4x + 7$. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 - 4x - 1 = -x^2 - 4x + 7$

Перенесем все члены в левую часть. Члены с $-4x$ взаимно уничтожаются:

$x^2 - 4x - 1 + x^2 + 4x - 7 = 0$

$2x^2 - 8 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 8$

$x^2 = 4$

Отсюда находим два корня: $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2 - 4x - 1$.

При $x_1 = 2$:

$y_1 = 2^2 - 4(2) - 1 = 4 - 8 - 1 = -5$

При $x_2 = -2$:

$y_2 = (-2)^2 - 4(-2) - 1 = 4 + 8 - 1 = 11$

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(2; -5)$ и $(-2; 11)$.

Ответ: $(2; -5)$, $(-2; 11)$.

4) Найдем точки пересечения графиков функций $y = x^2 + 3x - 5$ и $y = -x^2 + 3x - 3$. Приравняем правые части уравнений:

$x^2 + 3x - 5 = -x^2 + 3x - 3$

Перенесем все члены в левую часть. Члены с $3x$ взаимно уничтожаются:

$x^2 + 3x - 5 + x^2 - 3x + 3 = 0$

$2x^2 - 2 = 0$

Решим полученное неполное квадратное уравнение:

$2x^2 = 2$

$x^2 = 1$

Отсюда находим два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$, подставив значения $x$ в уравнение $y = x^2 + 3x - 5$.

При $x_1 = 1$:

$y_1 = 1^2 + 3(1) - 5 = 1 + 3 - 5 = -1$

При $x_2 = -1$:

$y_2 = (-1)^2 + 3(-1) - 5 = 1 - 3 - 5 = -7$

Таким образом, точки пересечения графиков имеют координаты $(1; -1)$ и $(-1; -7)$.

Ответ: $(1; -1)$, $(-1; -7)$.

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Укажите функцию $y = f(x)$, первообразная которой равна $F(x) = 9x^2 - 0,5x$:

A $18x + \frac{1}{2}$; B) $4,5x - 0,5$; C) $4,5x + 0,5$; D) $18x - \frac{1}{2}$.

1. По определению, функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, если производная от $F(x)$ равна $f(x)$. Математически это записывается как $f(x) = F'(x)$.

В задаче дана первообразная функция $F(x) = 9x^2 - 0,5x$. Чтобы найти исходную функцию $y = f(x)$, необходимо найти производную от $F(x)$.

Воспользуемся правилами дифференцирования:

• Производная разности функций равна разности производных: $(u - v)' = u' - v'$.
• Производная степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.
• Вынесение константы за знак производной: $(c \cdot u)' = c \cdot u'$.

Найдем производную функции $F(x)$:$f(x) = F'(x) = (9x^2 - 0,5x)'$.

Применяя правило производной разности, получаем:$f(x) = (9x^2)' - (0,5x)'$.

Теперь найдем производную каждого слагаемого:

$(9x^2)' = 9 \cdot (x^2)' = 9 \cdot 2x^{2-1} = 18x$.

$(0,5x)' = 0,5 \cdot (x^1)' = 0,5 \cdot 1 \cdot x^{1-1} = 0,5 \cdot 1 \cdot x^0 = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

Подставляем найденные значения обратно в выражение для $f(x)$:

$f(x) = 18x - 0,5$.

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Десятичную дробь $0,5$ можно представить в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$. Тогда $f(x) = 18x - \frac{1}{2}$.

Этот результат соответствует варианту D).

Ответ: D) $18x - \frac{1}{2}$.

2. Определите общий вид первообразной для функции $y = 4x + 6x^3$:

A) $8x + 1.5x^2 + C;$

B) $2x^2 + 1.5x^4 + C;$

C) $8x^2 + \frac{3}{2}x^4 + C;$

D) $4 + 18x^2 + C.$

Чтобы определить общий вид первообразной для функции, необходимо найти ее неопределенный интеграл. Первообразная $F(x)$ для функции $y=f(x)$ находится по формуле $F(x) = \int f(x) \,dx$.

В нашем случае, функция $y = 4x + 6x^3$.

Найдем ее неопределенный интеграл:

$F(x) = \int (4x + 6x^3) \,dx$

Используем свойство интеграла суммы, которое гласит, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций:

$F(x) = \int 4x \,dx + \int 6x^3 \,dx$

Для нахождения каждого интеграла применим формулу для степенной функции: $\int a \cdot x^n \,dx = a \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$.

Найдем первообразную для первого слагаемого $4x$ (здесь $n=1$):

$\int 4x \,dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = 4 \cdot \frac{x^2}{2} = 2x^2$.

Найдем первообразную для второго слагаемого $6x^3$ (здесь $n=3$):

$\int 6x^3 \,dx = 6 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 6 \cdot \frac{x^4}{4} = \frac{6}{4}x^4 = \frac{3}{2}x^4$.

Теперь сложим полученные результаты и добавим константу интегрирования $C$, чтобы получить общий вид первообразной:

$F(x) = 2x^2 + \frac{3}{2}x^4 + C$.

Сравним полученное выражение с предложенными вариантами ответов. Для этого представим дробь $\frac{3}{2}$ в виде десятичной дроби: $\frac{3}{2} = 1,5$.

Таким образом, общий вид первообразной: $F(x) = 2x^2 + 1,5x^4 + C$.

Данное выражение соответствует варианту B).

Ответ: B) $2x^2 + 1,5x^4 + C$.