Страница 41 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

1. От чего зависит число значений корня n-й степени? Ответ обоснуйте.

2. Почему не существует корень четной степени из отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

1. От чего зависит число значений корня n-й степени? Ответ обоснуйте.

Число действительных значений корня $n$-й степени из числа $a$ (обозначается как $\sqrt[n]{a}$) зависит от двух факторов: четности показателя корня $n$ и знака подкоренного выражения $a$.

По определению, корень $n$-й степени из числа $a$ — это такое число $x$, которое при возведении в степень $n$ дает в результате число $a$. Математически это записывается как $x^n = a$.

Рассмотрим два основных случая:

1. Показатель корня $n$ — нечетное число ($n = 3, 5, 7, \dots$).

В этом случае для любого действительного числа $a$ (положительного, отрицательного или равного нулю) существует ровно один действительный корень. Это объясняется тем, что степенная функция $y=x^n$ с нечетным показателем является монотонно возрастающей на всей числовой оси и ее область значений — все действительные числа (от $-\infty$ до $+\infty$).

Например: $\sqrt[3]{125} = 5$, так как $5^3 = 125$; $\sqrt[5]{-32} = -2$, так как $(-2)^5 = -32$.

2. Показатель корня $n$ — четное число ($n = 2, 4, 6, \dots$).

В этом случае количество действительных корней зависит от знака числа $a$:

– Если $a > 0$ (положительное число), то уравнение $x^n = a$ имеет два действительных корня. Они являются противоположными числами: $\sqrt[n]{a}$ (арифметический корень, который положителен) и $-\sqrt[n]{a}$. Например, уравнение $x^4 = 16$ имеет два корня: $x=2$ и $x=-2$.

– Если $a = 0$, то уравнение $x^n = 0$ имеет один корень: $x = 0$.

– Если $a < 0$ (отрицательное число), то уравнение $x^n = a$ не имеет действительных корней. Причина этого подробно рассматривается в следующем вопросе.

Ответ: Число действительных значений корня $n$-й степени зависит от четности показателя $n$ и знака подкоренного числа $a$. Если $n$ — нечетное число, существует один корень для любого $a$. Если $n$ — четное число, то для $a > 0$ существует два корня, для $a = 0$ — один корень, а для $a < 0$ — действительных корней нет.

2. Почему не существует корень четной степени из отрицательного числа? Ответ обоснуйте.

В множестве действительных чисел корень четной степени из отрицательного числа не существует, потому что любое действительное число, возведенное в четную степень, дает неотрицательный результат.

Обоснование:

Пусть нам нужно найти корень четной степени $n$ из отрицательного числа $a$. Это значит, что нам нужно найти такое действительное число $x$, для которого выполняется равенство $x^n = a$, где $n$ — четное ($n=2k$, $k \in \mathbb{N}$) и $a < 0$.

Проанализируем, каким может быть значение $x^n$ для любого действительного числа $x$:

– Если $x$ — положительное число ($x > 0$), то и $x^n$ будет положительным, как произведение положительных чисел.

– Если $x$ — отрицательное число ($x < 0$), то его можно записать как $x = -b$, где $b > 0$. Тогда $x^n = (-b)^n = (-1)^n \cdot b^n$. Так как $n$ — четное число, то $(-1)^n = 1$. В результате получаем $x^n = b^n$, что является положительным числом (поскольку $b > 0$).

– Если $x = 0$, то $x^n = 0^n = 0$.

Таким образом, для любого действительного числа $x$ (положительного, отрицательного или нуля) его четная степень $x^n$ всегда является неотрицательным числом, то есть $x^n \ge 0$.

Из этого следует, что равенство $x^n = a$ невозможно, если $n$ — четное, а $a$ — отрицательное, так как неотрицательное число ($x^n$) не может быть равно отрицательному числу ($a$).

Ответ: Корень четной степени из отрицательного числа не существует в множестве действительных чисел, потому что четная степень любого действительного числа является неотрицательным числом, и, следовательно, не может быть равна отрицательному числу.

Проверьте справедливость следующих равенств (5.1–5.2):

5.1. 1) $\sqrt[3]{64}=4$;

2) $\sqrt[5]{-1}=-1$;

3) $\sqrt[10]{1024}=2$;

4) $\sqrt[3]{-243}=-3$.

1) Чтобы проверить равенство $\sqrt[3]{64} = 4$, необходимо по определению корня n-ой степени возвести число 4 в третью степень. Если в результате получится подкоренное выражение, то есть 64, то равенство является верным.

Выполним проверку: $4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$.

Так как $4^3 = 64$, то равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

2) Для проверки равенства $\sqrt[5]{-1} = -1$, необходимо возвести число -1 в пятую степень. Корень нечетной степени из отрицательного числа существует, и он отрицателен.

Выполним проверку: $(-1)^5 = (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) \cdot (-1) = -1$.

Поскольку $(-1)^5 = -1$, равенство является верным.

Ответ: Равенство справедливо.

3) Проверим справедливость равенства $\sqrt[10]{1024} = 2$. Для этого нужно возвести число 2 в десятую степень.

Выполним проверку: $2^{10} = 2^5 \cdot 2^5 = 32 \cdot 32 = 1024$.

Так как $2^{10} = 1024$, а также основание корня (2) является неотрицательным числом, то равенство является верным.

Ответ: Равенство справедливо.

4) Чтобы проверить равенство $\sqrt[5]{-243} = -3$, возведем число -3 в пятую степень. Равенство будет справедливым, если в результате мы получим -243.

Выполним проверку: $(-3)^5 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -(3^5)$.

Вычислим $3^5 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 9 \cdot 9 \cdot 3 = 81 \cdot 3 = 243$.

Следовательно, $(-3)^5 = -243$. Равенство является верным.

Ответ: Равенство справедливо.