Страница 37 - гдз по алгебре 11 класс учебник Абылкасымова, Жумагулова

7. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = -2$, $x = -1$:

A) 3;

B) 1;

C) $ \frac{7}{3} $;

D) $ \frac{5}{3} $.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями $y = x^2$, $y = 0$, $x = -2$ и $x = -1$, необходимо вычислить определенный интеграл. Фигура, площадь которой нужно найти, является криволинейной трапецией. Она ограничена сверху параболой $y = x^2$, снизу осью абсцисс ($y=0$), а слева и справа — вертикальными прямыми $x = -2$ и $x = -1$.

Площадь $S$ криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке $[a, b]$ функции $f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется по формуле Ньютона-Лейбница: $S = \int_{a}^{b} f(x) \,dx$

В данном случае, $f(x) = x^2$, $a = -2$, $b = -1$. Функция $y=x^2$ является неотрицательной на всем промежутке интегрирования от $-2$ до $-1$.

Подставим данные в формулу и вычислим интеграл: $S = \int_{-2}^{-1} x^2 \,dx$

Сначала найдем первообразную для функции $f(x) = x^2$. Используя правило интегрирования степенной функции $\int x^n \,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, получаем: $F(x) = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}$

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла: $S = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-2}^{-1} = F(-1) - F(-2) = \frac{(-1)^3}{3} - \frac{(-2)^3}{3}$

Проведем вычисления: $S = \frac{-1}{3} - \frac{-8}{3} = \frac{-1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{-1 + 8}{3} = \frac{7}{3}$

Площадь фигуры равна $\frac{7}{3}$. Сравнивая результат с предложенными вариантами ответов, видим, что он соответствует варианту C).

Ответ: C) $\frac{7}{3}$

8. Вычислите интеграл $ \int_{-1}^{1} x^{10} dx: $

A) $0;$

B) $ \frac{2}{11}; $

C) $22;$

D) $ \frac{1}{22}. $

Для вычисления определенного интеграла $\int_{-1}^{1} x^{10} dx$ необходимо найти первообразную подынтегральной функции и применить формулу Ньютона-Лейбница: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, где $F(x)$ — первообразная для $f(x)$.

1. Найдем первообразную для функции $f(x) = x^{10}$. Согласно таблице интегралов для степенной функции, $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. В нашем случае $n=10$, поэтому:

$F(x) = \frac{x^{10+1}}{10+1} = \frac{x^{11}}{11}$

2. Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для пределов интегрирования от -1 до 1:

$\int_{-1}^{1} x^{10} dx = \left. \frac{x^{11}}{11} \right|_{-1}^{1} = F(1) - F(-1)$

3. Подставим значения верхнего и нижнего пределов в первообразную:

$F(1) = \frac{1^{11}}{11} = \frac{1}{11}$

$F(-1) = \frac{(-1)^{11}}{11} = \frac{-1}{11}$ (так как 11 — нечетное число)

4. Вычислим разность:

$\int_{-1}^{1} x^{10} dx = \frac{1}{11} - \left(-\frac{1}{11}\right) = \frac{1}{11} + \frac{1}{11} = \frac{2}{11}$

Альтернативный способ:

Можно заметить, что подынтегральная функция $f(x) = x^{10}$ является четной, так как $f(-x) = (-x)^{10} = x^{10} = f(x)$. Для четной функции интеграл по симметричному промежутку $[-a, a]$ вычисляется как $2 \int_{0}^{a} f(x) dx$.

$\int_{-1}^{1} x^{10} dx = 2 \int_{0}^{1} x^{10} dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^{11}}{11} \right]_{0}^{1} = 2 \cdot \left( \frac{1^{11}}{11} - \frac{0^{11}}{11} \right) = 2 \cdot \left( \frac{1}{11} - 0 \right) = \frac{2}{11}$

Оба метода дают одинаковый результат. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что правильный ответ — B).

Ответ: $\frac{2}{11}$.

9. Площадь фигуры, изображенной на рисунке, вычисляется по фор-муле:

A) $S = \int_{a}^{b} f(x)dx;$

B) $S = 2 \int_{-3}^{0} f(x)dx;$

C) $S = \int_{3}^{-3} f(x)dx;$

D) $S = \int_{-3}^{3} f(x)dx.$

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции $y=f(x)$, осью абсцисс $Ox$ и вертикальными прямыми $x=a$ и $x=b$, вычисляется с помощью определенного интеграла по формуле: $S = \int_{a}^{b} f(x) dx$.

На представленном рисунке заштрихованная фигура представляет собой криволинейную трапецию, которая ограничена сверху графиком функции $y=f(x)$, снизу — осью абсцисс ($y=0$), слева — вертикальной прямой $x=-3$, и справа — вертикальной прямой $x=3$.

Следовательно, нижним пределом интегрирования является $a=-3$, а верхним — $b=3$. Подставляя эти значения в общую формулу, получаем выражение для площади данной фигуры: $S = \int_{-3}^{3} f(x) dx$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа:

A) $S = \int_{a}^{b} f(x)dx$. Это общая формула для площади криволинейной трапеции, но она не использует конкретные пределы интегрирования, указанные на графике.

B) $S = 2 \int_{-3}^{0} f(x)dx$. Эта формула была бы верна, если бы функция $f(x)$ была четной, т.е. $f(-x) = f(x)$, поскольку для четной функции $\int_{-c}^{c} f(x)dx = 2 \int_{0}^{c} f(x)dx$. Хотя график и выглядит симметричным относительно оси $Oy$, что указывает на четность функции, вариант D является прямым определением площади по заданным границам, которое верно независимо от свойства четности.

C) $S = \int_{3}^{-3} f(x)dx$. Здесь пределы интегрирования поменяны местами. По свойству определенного интеграла $\int_{b}^{a} f(x)dx = -\int_{a}^{b} f(x)dx$. Так как площадь является положительной величиной ($f(x) \ge 0$ на промежутке), этот интеграл дал бы отрицательное значение, что неверно.

D) $S = \int_{-3}^{3} f(x)dx$. Эта формула точно соответствует определению площади заштрихованной фигуры, где интегрирование ведется от левой границы $x=-3$ до правой границы $x=3$.

Таким образом, наиболее правильным и точным ответом является вариант D, так как он напрямую использует данные из графика для вычисления площади по определению.

Ответ: D

10. Найдите значение интеграла $\int_a^b \frac{25\sqrt{x}}{x} dx$:

A 50;

B 10;

C 5;

D 25.

Для нахождения значения определенного интеграла $ \int_{4}^{25} \frac{25\sqrt{x}}{x} dx $ необходимо выполнить следующие шаги.

1. Упрощение подынтегральной функции.

Подынтегральная функция равна $ \frac{25\sqrt{x}}{x} $. Используя свойство степеней ($ \sqrt{x} = x^{1/2} $), мы можем ее упростить:

$ \frac{25\sqrt{x}}{x} = \frac{25x^{1/2}}{x^1} = 25x^{1/2 - 1} = 25x^{-1/2} $.

2. Нахождение первообразной.

Теперь найдем неопределенный интеграл от полученной функции. Вынесем константу 25 за знак интеграла и воспользуемся формулой для интегрирования степенной функции $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $:

$ \int 25x^{-1/2} dx = 25 \int x^{-1/2} dx = 25 \cdot \frac{x^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1} + C = 25 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 25 \cdot 2x^{1/2} + C = 50\sqrt{x} + C $.

Таким образом, первообразная для функции $ 25x^{-1/2} $ равна $ F(x) = 50\sqrt{x} $.

3. Вычисление определенного интеграла.

Применим формулу Ньютона-Лейбница $ \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) $:

$ \int_{4}^{25} 25x^{-1/2} dx = \left. 50\sqrt{x} \right|_{4}^{25} = 50\sqrt{25} - 50\sqrt{4} $.

Вычислим значения корней: $ \sqrt{25} = 5 $ и $ \sqrt{4} = 2 $.

Подставим эти значения в выражение:

$ 50 \cdot 5 - 50 \cdot 2 = 250 - 100 = 150 $.

Полученный результат 150 не соответствует ни одному из предложенных вариантов ответа (A) 50, (B) 10, (C) 5, (D) 25. Это указывает на возможную опечатку в условии задачи или в вариантах ответов.

Рассмотрим вероятный случай опечатки в одном из пределов интегрирования. Например, если бы нижний предел был 16 вместо 4, решение выглядело бы так:

$ \int_{16}^{25} \frac{25\sqrt{x}}{x} dx = \left. 50\sqrt{x} \right|_{16}^{25} = 50\sqrt{25} - 50\sqrt{16} = 50 \cdot 5 - 50 \cdot 4 = 250 - 200 = 50 $.

Этот результат соответствует варианту ответа А. Аналогично, если бы верхний предел был 9 вместо 25, результат также был бы 50:

$ \int_{4}^{9} \frac{25\sqrt{x}}{x} dx = \left. 50\sqrt{x} \right|_{4}^{9} = 50\sqrt{9} - 50\sqrt{4} = 50 \cdot 3 - 50 \cdot 2 = 150 - 100 = 50 $.

Учитывая наличие варианта 50, наиболее вероятно, что в условии задачи была допущена опечатка, и правильный ответ должен быть 50.

A) 50

Ответ: 50

11. Что означает определенный интеграл от непрерывной и неотрицательной функции на отрезке $[a; b]$:

А) площадь криволинейной функции;

В) общий вид первообразной;

С) производную функции;

D) объем тела вращения?

Геометрический смысл определенного интеграла $\int_{a}^{b} f(x) dx$ от непрерывной и неотрицательной функции $f(x)$ (то есть $f(x) \geq 0$) на отрезке $[a; b]$ — это площадь криволинейной трапеции. Криволинейная трапеция — это фигура в декартовой системе координат, ограниченная графиком функции $y = f(x)$, осью абсцисс (осью Ox) и вертикальными прямыми $x = a$ и $x = b$.

Проанализируем предложенные варианты:

А) площадь криволинейной функции;

Это верный ответ. Хотя формулировка "площадь криволинейной функции" не является строго математической (более корректно — "площадь криволинейной трапеции"), она наиболее точно отражает геометрический смысл определенного интеграла в данном контексте.

В) общий вид первообразной;

Это неверно. Общий вид первообразной, $F(x) + C$, где $F'(x) = f(x)$, является результатом вычисления неопределенного интеграла $\int f(x) dx$, который представляет собой семейство функций. Определенный интеграл $\int_{a}^{b} f(x) dx$ — это конкретное число.

С) производную функции;

Это неверно. Интегрирование и дифференцирование (нахождение производной) являются взаимно обратными операциями. Определенный интеграл — это не производная.

D) объем тела вращения?

Это неверно. Объем тела вращения вычисляется с помощью определенного интеграла, но по другой формуле, например, $V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$ для вращения вокруг оси Ox. Это является приложением определенного интеграла, а не его основным геометрическим определением.

Ответ: А)

12. Вычислите площадь плоской фигуры, изображенной на рисунке:

A $\frac{3}{4}$;

B $\frac{14}{3}$;

C $\frac{4}{3}$;

D $\frac{32}{3}$.

13. Какое условие должно выполняться для того, чтобы функция $F(x)$ была первообразной для

12. Площадь заштрихованной фигуры вычисляется как определенный интеграл разности функций, ограничивающих ее сверху и снизу.

Верхняя граница — это прямая $y_1 = 3$.

Нижняя граница — это парабола $y_2 = x^2 - 4x + 6$.

Пределы интегрирования, $a$ и $b$, являются абсциссами точек пересечения этих двух графиков. Чтобы найти их, приравняем выражения для $y$:

$x^2 - 4x + 6 = 3$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Таким образом, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Это и есть наши пределы интегрирования: $a = 1$, $b = 3$.

Площадь $S$ находится по формуле:

$S = \int_{a}^{b} (y_1(x) - y_2(x)) dx$

Подставим наши функции и пределы:

$S = \int_{1}^{3} (3 - (x^2 - 4x + 6)) dx = \int_{1}^{3} (3 - x^2 + 4x - 6) dx = \int_{1}^{3} (-x^2 + 4x - 3) dx$

Для вычисления интеграла применим формулу Ньютона-Лейбница. Сначала найдем первообразную для подынтегральной функции $f(x) = -x^2 + 4x - 3$:

$F(x) = \int (-x^2 + 4x - 3) dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} - 3x = -\frac{x^3}{3} + 2x^2 - 3x$

Теперь вычислим значение определенного интеграла:

$S = F(3) - F(1) = \left(-\frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 - 3 \cdot 3\right) - \left(-\frac{1^3}{3} + 2 \cdot 1^2 - 3 \cdot 1\right)$

$S = \left(-9 + 18 - 9\right) - \left(-\frac{1}{3} + 2 - 3\right) = 0 - \left(-\frac{1}{3} - 1\right) = 0 - \left(-\frac{4}{3}\right) = \frac{4}{3}$

Таким образом, площадь фигуры равна $\frac{4}{3}$. Это соответствует варианту ответа C).

Ответ: C) $\frac{4}{3}$.

13. Согласно определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, если для всех значений $x$ из этого промежутка выполняется равенство производной функции $F(x)$ и функции $f(x)$.

Математически это условие записывается в виде формулы:

$F'(x) = f(x)$

Это равенство является основным и единственным условием, которое должно выполняться, чтобы функция $F(x)$ считалась первообразной для $f(x)$.

Ответ: Для того чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на некотором промежутке, необходимо, чтобы на этом промежутке выполнялось равенство $F'(x) = f(x)$.

13. Какое условие должно выполняться для того, чтобы функция $F(x)$ была первообразной для функции $f(x)$ на множестве $D$:

A $F(x) = f(x)$; C) $F(x) = f'(x)$; B) $F'(x) = f(x)$; D) $F'(x) = f'(x)$?

По определению, функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на множестве $D$, если для всех $x$ из этого множества производная функции $F(x)$ равна функции $f(x)$.

Математически это определение записывается в виде формулы: $F'(x) = f(x)$.

Теперь проанализируем предложенные варианты ответа на основе этого определения:

A) $F(x) = f(x)$: Это условие означает, что функции равны. Это не является определением первообразной. Например, для функции $f(x) = 2x$ одной из первообразных является $F(x) = x^2$. Как мы видим, $F(x) \neq f(x)$.

C) $F(x) = f'(x)$: Это условие гласит, что первообразная равна производной исходной функции. Это неверно. Операция нахождения первообразной (интегрирование) является обратной по отношению к дифференцированию. Для нашего примера $f(x) = 2x$, производная $f'(x) = 2$. Первообразная $F(x) = x^2$, но $x^2 \neq 2$.

B) $F'(x) = f(x)$: Это равенство в точности соответствует определению первообразной. Производная от первообразной функции $F(x)$ должна быть равна исходной функции $f(x)$. Для нашего примера $F'(x) = (x^2)' = 2x$, что равно $f(x)$. Следовательно, это условие является верным.

D) $F'(x) = f'(x)$: Это условие означает, что производные функций $F(x)$ и $f(x)$ равны. Из этого следует, что сами функции отличаются на некоторую константу $C$, то есть $F(x) = f(x) + C$. Это также не является определением первообразной.

Таким образом, единственное верное условие, при котором функция $F(x)$ является первообразной для функции $f(x)$, представлено в варианте B.

Ответ: B) $F'(x) = f(x)$.

14. При каком значении C график первообразной функции $f(x) = 5\sin5x$

проходит через точку $K\left(\frac{\pi}{5}; 1\right)$:

A 0;

B 2;

C -1;

D 1?

Для того чтобы найти значение константы $C$, сначала необходимо найти общий вид первообразной для заданной функции $f(x) = 5\sin5x$. Первообразная $F(x)$ является результатом интегрирования функции $f(x)$.

$F(x) = \int f(x)dx = \int 5\sin5x dx$

Используя основную формулу интегрирования $\int \sin(kx)dx = -\frac{1}{k}\cos(kx) + C$, где $C$ — константа интегрирования, для нашей функции при $k=5$ получаем:

$F(x) = 5 \cdot \left(-\frac{1}{5}\cos5x\right) + C = -\cos5x + C$

Это общий вид первообразной для функции $f(x) = 5\sin5x$.

По условию задачи, график первообразной проходит через точку $K(\frac{\pi}{5}; 1)$. Это значит, что при подстановке координат точки в уравнение первообразной, мы получим верное равенство. То есть, при $x = \frac{\pi}{5}$, значение $F(x)$ должно быть равно $1$.

Подставим значения $x = \frac{\pi}{5}$ и $F(x) = 1$ в найденное уравнение первообразной:

$1 = -\cos\left(5 \cdot \frac{\pi}{5}\right) + C$

Упростим выражение в аргументе косинуса:

$1 = -\cos(\pi) + C$

Мы знаем, что значение $\cos(\pi)$ равно $-1$. Подставим это значение в уравнение:

$1 = -(-1) + C$

$1 = 1 + C$

Теперь решим это уравнение относительно $C$:

$C = 1 - 1$

$C = 0$

Таким образом, искомое значение константы $C$ равно 0. Среди предложенных вариантов это соответствует варианту A.

Ответ: 0